《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.1）矩阵的三角分解

第三章 矩阵的分解

第三章 矩阵的分解

§I矩阵的三角分解 n阶方阵的三角分解 定义1 n 正线上三角阵 R "|(an>0) ●鲁 00

§1 矩阵的三角分解 一、n 阶方阵的三角分解 定义 1 11 12 1 22 2 0 ( 0) 0 0 n n ii nn a a a a a R a a       =          正线上三角阵

12 单位上三角阵 R 2n 00

            = 0 0 1 0 1 1 2 1 2 1        n n a a a 单位上三角阵 R

定义2 11 正线下三角阵 L (an>0)

定义 2 11 21 22 1 2 0 0 0 ( 0) ii n n nn a a a L a a a a       =          正线下三角阵

单位下三角阵 L n1 n2

            = 1 1 0 1 0 0 1 2 2 1        n n a a a 单位下三角阵 L

1.上三角矩阵R的逆R-1也是上三角矩阵,且对角 元是R对角元的倒数; 2两个上三角矩阵R1,R2的乘积RR也是上三角 矩阵,且对角元是R与R对角元之积; 3酉矩阵U的逆U-也是酉矩阵; 4.两个酉矩阵之积U1U2也是酉矩阵

2.两个上三角矩阵 、 的乘积 也是上三角 矩阵,且对角元是 与 对角元之积; R1 R2 R1 R2 R1 R2 1.上三角矩阵R 的逆 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数; −1 R 3.酉矩阵U 的逆 也是酉矩阵; −1 U 4.两个酉矩阵之积 也是酉矩阵. U1 U2

定理1:设A∈CXn,则可唯一地分解为 A=UR 其中,U1是酉矩阵,R是正线上三角复矩阵 或4可唯一分解为 A= UA 其中,L是正线下三角复矩阵U2是酉矩阵 证:A=(a1,a2,…,an)A∈CmN

定理1： A = U1 R 或 可唯一分解为 其中， 是酉矩阵， 是正线上三角复矩阵 A U R . 1 A = LU2 , . 其中，L是正线下三角复矩阵U2 是酉矩阵 证： ( , , , ) A = a1 a2  an n n A Cn   设 ACn nn ,则A可唯一地分解为

线性无关正交化、单位化 B1 a1-∑(an,月) i=2,3. ∑(an,月1) k=(a,月k1=a1或kn圳a1∑(a,月)B‖

正交化、单位化 1 1 1 1 1 1 1 || || ( , ) 2, 3, , || ( , ) || i i i j j j i i i i j j j a a a a i n a a       − = − =  =      −   = =  −     1 11 1 1 ( , ), || || || ( , ) || i ij i j ii i i j j j k a k a k a a    − = = = = − 或  a1 , a2 ,  , an 线性无关

;=∑l;i=1,2,…,n A=(k1B1,k21+k2262,…,∑n ku k 21 n =(B1,B2,…Bn 22 2 00 nn UR

a k i n i j i i j j 1, 2, , 1 =  =  =  ( , , , ) 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2  = = + n j A k  k  k   knj  j             = n n n n n k k k k k k         0 0 0 ( , , ) 22 2 11 21 1 1  2  = U1 R

唯一性:设A=U1R1=U2R2→R1=U1U2R2 R J为酉矩阵 ku k2 0 k 0 设R1 kn2 r2 22 2 00 00 nn 21 21 (1)k1n=v141 2 nn

唯一性： 设A = U1 R1 = U2 R2 2 2 1 R1 U1 U R − = =VR2 V为酉矩阵 11 11 11 (1) k = v l             =             = n n n n n n n n l l l l l l R k k k k k k R               0 0 0 0 0 0 22 2 11 21 1 2 22 2 11 21 1 设 1             = n n nn n n v v v v v v v v v V        1 2 21 22 2 11 21 1