同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十章 曲线积分与曲面积分（10.2）对坐标曲线积分

第二节 第十章 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 A三、两类曲线积分之间的联系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章

对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例:变力沿曲线所作的功 B 设一质点受如下变力作用 F(x,y)=(P(x,y), o(x, y)) A 在xy平面内从点A沿光滑曲线孤L移动到点B求移 动过程中变力所作的功W 解决办法: 变力沿直线所作的功 大化小 F W=FAB cos 0 常代变′ F·AB “近似和” B 取极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A = F  AB B F  F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)“大化 分成n个小弧段,F沿Mk1Mk…,F(5k,k) 所做的功为△W,则 B W=∑△Wk △xk 2)“常代变 X 有向小弧段MA1M用有向线段Mk=1Mk=(xk,△yk) 近似代替,在MAM上任取一点(k,m则有 △Wk≈F(5k,7k)Mk k-14k P(Sk, nk)Axk+o(sk, nk Ayk HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

Mk−1 Mk A B x y 1) “大化 小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y  k   k  所做的功为 F 沿 Wk F k Mk 1Mk ( , ) −      k ( , ) F  k k  = =  n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)近似和 W≈∑[P(5k,k)Axk+Qck,mk)yk] k 4)“取极限 W=lim∑[P(k,k)Axk+Q(k,k)④yk] 其中为n个小弧段的 FO 最大长度) L Ay B △x k X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3) “近似和” 4) “取极限”  =  n k W 1   k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y  = → = n k W 1 0 lim    k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F  k k k y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑 弧,在L上定义了一个向量函数 F(x,y=(P(x,y), 2(x, y)) 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,极限 im∑[P(5k,nk)Axk+Q(5k,mk)△yk →>0 记作 P(x, ydx+o(x, y)dy 都存在,则称此极限为函数F(x,y)在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分,或第二类曲线积分其中,P(x,y), Q(x,y)称为被积函数,L称为积分弧段或积分曲线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分,  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy  k k k P( , )x  k k k  + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(x,y)dx=1im∑P(k,mk)△xk2 -0 称为对x的曲线积分 Q(x,y)dy=lim 2o(k, nk )Ayk 称为对y的曲线积分 若记ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作 , Fds=L P(x, y)dx+(x,ydy 类似地,若I为空间曲线弧,记ds=(dx,dy,dz) F(x,y,z)=(P(x,y,=),Q(x,y,z),R(x,y,2) Fds= P(x, y, z)dx+Q(x,y, z)dy+R(x,y, z )dz 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k P   x  L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k Q   y  若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d s = (d x, dy) , 对坐标的曲线积分也可写作    = + L L F d s P(x, y)dx Q(x, y)dy F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x, dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3性质 1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L(i=1,…,k) 则P(x,y)dx+Q(x,y)dy ∑J,Pxyx+(xyy (2)用L表示L的反向弧,则 J P(x, y)dx+ O(x, y)dy=-f, P(x, ydx+@(x,y)dy 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 定积分是第二类曲线积分的特例 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy  = = + k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则  = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理:设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且 连续L的参数方程为{x=0):a→则曲线积分 y=y(t 存在,且有 P(x, y)dx+o(x, y)d {P(,yv()0(t)+Q(),v()v(o)dt 证明:下面先证 P(x,y)x=|.P[q(),v()()dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为    = = ( ) ( ) y t x t   t : → , 则曲线积分   =   P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt  =     (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

根据定义,Px,yx=m∑P(,n)x 0 设分点x对应参数t1,点(51,m)对应参数z1,由于 △x1=x1-x-1=0(t1)-9(1-1)=(2)M P(x,y)dx=imn∑P(z),v(r)(7)△ →0 因为L为光滑弧,所以'()连续 lim∑P((1),v(r)q(r)M PI(t),y(olo(tdt 同理可证∫Q(xy)y=o(wov(dt 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i  由于  i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1  t  t i i =()t P[ (t), (t)] dt  =      → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ()t  → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t (t)  → = =  n i i i i P x 1 0 lim ( , )  对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t  =     (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别是,如果L的方程为y=v(x),x:a→>b,则 P(x, y)dx+o(, y)dy IP[x, v(x)+Qx,v(x)]y'(x)dx x=o(t) 对空间光滑曲线弧I:{y=W(0)t:a→B类似有 z=O(t) P(r, y, z)dx+o(x, v, zdy+r(x,y, z)dz B P[o(,y(),o()o() +Q0(1),v(t),O()v() +Rig(),y(o),o(tlo'(t)dt HIGH EDUCATION PRESS 定理目录上页下页返回结束

特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a →b, 则 P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d  =  +  (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有   =   (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( )      → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束