同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十一章 无穷级数（11.8）一般周期的

第八节 第十一章 般周期的妈飘的傅里叶級 以2l为周期的函数的 傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、傅里叶级数的复数形式 第十一章

以2l为周期的函数的傅里叶展开 周期为2l函数f(x) 变量代换z 元x 周期为2π函数F(z) 将F()作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 l x z  = 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理设周期为2l的周期函数f(x满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 f(x)=0 1丌x 1丌x a. cos tb sin n=1 (在f(x)的连续点处) 其中 1丌x (x)cos-r"dx(n=0,1,2,…) nX f(xsin dx(n=1,2,…) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) an = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1  − = 其中 定理. l 1 x l n x f x l l ( )cos d  − (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明:令z ,则x∈[-1,1]变成z∈[-丌,丌 x 令F(z)=f(x)=∫ 则 lz F(x+2丌)=f( (z+2丌 f(-+21) f()=F(z) 所以F()是以2π为周期的周期函数,且它满足收敛 定理条件,将它展成傅里叶级数 F(2)=0+2(an cosnz+bn sin nz n=1 (在F()的连续点处) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

证明: 令 l x z  = , 则 令 ( ) ,  lz = f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) (    + + = l z F z f ( 2l ) lz = f +  ( )  lz = f 所以 且它满足收敛 定理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以 2 为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

In=I F()cos=(n=0,1,2 其中 I F(z)sinned (n=1,2,3,… 1兀x f(xcos dx(n=0,122 1丌x xsin dx(n=1,2,3 1丌x f(x)=2+2( +b sin (在f(x)的连续点处)证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

a F z nz z n ( )cos d 1 − =    其中 b F z nz z n ( )sin d 1 − =    令 l x z  = l an 1 = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1  − = (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d  − 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明:如果f(x)为奇函数,则有 f(x)=∑ b sin 1丌x 在f(x)的连续点处) 其中 1丌x 0 f(xsin-dx (n=l 如果f(x)为偶函数,则有 f(x) 2+24+x(在/()的连续点处) n=1 其中 1J0 f(x)cos dx(n=0,1,2, 注:无论哪种情况,在∫(x)的间断点x处,傅里叶级数 收敛于[f(x-)+f(x+) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: = ( )sin d ( =1, 2,)  x n l n x b f x n  其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) = ( )cos d ( = 0,1, 2,)  x n l n x a f x n  其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1交流电压E()= Esin o t经半波整流后负压消 失试求半波整流函数的 傅里叶级数 2丌_丌0丌2xt 解:这个半波整流函数 的周期是2x,它在[,]上的表达式为 0 z<t<0 f(t) Esino t,0≤t<z O an-6 esin@ t cos no t dt 2o o [sin(n+ D)ot-sin(n-1)o t]d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

f (t) o t    + − −     0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t 例1. 交流电压 经半波整流后负压消 失,试求半波整流函数的 解: 这个半波整流函数  2 ,它在 an =      0 Esin t cos n t dt 傅里叶级数. 上的表达式为   的周期是 2  −2    −  机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 Eosin 2o tdt E cos 20 2丌J0 2丌L2 n≠1时 G Eo Isin(n+ D)ot-sin(n-1)o t]dt 2丌J0 e0 2zL(n+1)0 cos(n+ Dat cos(n-Dat (n-1)O E「(-1) (-1) 2xLn+1n+1n-1n-1 0 n=2k+3 _[(-1)1-1]E 2E (k=0 (n2-1)丌 n=2k (1-4k)丌 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

0    = 0    0 sin 2 t d t n 1时    + − −     0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t   2 E an =   − − n t n   cos( 1) ( 1) 1   =   2 E 0   + + + − n t n   cos( 1) ( 1) 1   − − − − + + + + −   = − 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 2 1 n n n n E n n    ( 1) ( 1) 1 2 1 − − − = − n E n = , (1 4 ) 2 2 k  E − n = 2k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Esinot sinnott Eo 2 /o Lcos(n-1)ot-coS(n+ Dat]dt Esinot· sinotd t 0 eo Eo sin 2ot (1-coS 2ot)dt E 0 2丌 0 0 n>1时 b Ea sin(n-1)ot sin(n+1)ot 0 2(n-1)o (n+1)o HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

b Esin t sin t d t 0 1       =    n t n t t E cos( 1) cos( 1) d 2 0  = − − +          − − =     ( 1) sin( 1) 2 n E n t bn 0 ( 1) sin( 1) 0 =    + + −     n n t 2 0 sin 2 2             = − t t E n > 1 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由于半波整流函数f(t) f( 在(-∞,+∞)上连续,由收 2丌 0兀2兀 收敛定理可得 EE 2E f(t) singt+ cos kot 兀k1-4k 直流部分 交流部分 (-∞0<t<+∞) 说明:上述级数可分解为直流部分与交流部分的和 2k次谐波的振幅为A2 2E1 k越大振幅越小 丌4k2-1 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

由于半波整流函数 f ( t ) = +  E f (t) t + E sin 2 k t k E k   cos 2 1 4 2 1 1  2  = − 直流部分 说明: 交流部分 由收 收敛定理可得 2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小, 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了. o 2 t  −2    −  f (t) 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动 目录 上页 下页 返回 结束