同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第八章 多元函数微分法及其应用（8.10）最小二乘法

第十予 第八章 最小二乘法 问题的提出:已知一组实验数据(xk2yk)(k=0 ,m,求它们的近似函数关系y=f(x) 需要解决两个问题 1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 O AA2.确定近似函数的标准 实验数据有误差不能要求y=f(x1) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*第十节 第八章 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . o y x 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 • 根据数据点的分布规律 • 根据问题的实际背景 2. 确定近似函数的标准 ( ) i i •实验数据有误差, 不能要求 y = f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小二乘法

偏差n=y;-f(x1)有正有负为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 ∑[y-f(x,)2=min 来确定近似函数f(x) 最小二乘法原理: 设有一列实验数据(xk,yk)(k=0,1,…,n),它们大体 分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

o y x • 偏差 ( ) i i i r = y − f x 有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 [ ( )] min 2 0  − = = i i n i y f x 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理: 设有一列实验数据 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b 使y=ax+b满足 M(a,b)=∑( k=0k-ax-6 min aM ∑(k-axk-b)xk=0 O a 令0 0 ab ∑(k-axk-b)=0 称为法方程组 ∑xk)+(∑xk)b=∑xkyk 得 k=0 解此线性方程组 ∑xk)a+(m+1)b=∑ 即得a,b k=0 k=0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 令 ( ) min 2 0  − − = = y ax b k n k = k M (a,b) =   a M =   b M 使 y = ax + b 满足: o y x 得 ( x )b n k  k = + 0 ( x )a n k  k =0 解此线性方程组 即得 a, b 称为法方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀 具的厚度,得实验数据如下 0 (h)012 33 4 4 55 67 67 y(mm)27.026826526.326.125725324.8 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.(P67例1) 解:通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上,故可设经验公式为 y=ax+b 列表计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下: 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上, 列表计算: 故可设经验公式为 (P67 例1) y = ax + b o y t 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束

y Vi t 0 27.0 77 49 24.81376 ∑28140208.5717.0 140a+28b=717 得法方程组 28a+8b=208.5 解得a=-0.3036,b=27125故所求经验公式为 y=f(1)=-0.3036t+27.125 为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

得法方程组 140 a + 28b 28a + 8b = 208.5 = 717 解得 a = −0.3036, b = 27.125, 故所求经验公式为 y = f (t) = −0.3036t + 27.125 i t 0   i 2 i t i y i i y t 7 0 0 27.0 0 7 49 24.8 137.6 28 140 208.5 717.0     机动 目录 上页 下页 返回 结束 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下:

01234567 实测的 27.026.826.526.326.125.725.324.8 Vi /mm 算得的27.125265182591125303 f(t,)/mm 26.821 26.214 25.60725.000 y1-f(1) 0.125 0.018 0.189 0.003 0.021 0.086 0.093 0.200 偏差平方和为M=∑[y-f(4)2=0108165 i=0 M称为均方误差对本题均方误差 VM=0124 它在一定程度上反映了经验函数的好坏o 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

o y t M 称为均方误差, n 1 对本题均方误差 0.124 7 1 M = 它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 [ ( )] 0.108165 2 7 0 =  − = = i i i 偏差平方和为 M y f t 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 27.125 26.518 25.911 25.303 26.821 26.214 25.607 25.000 －0.125 －0.018 0.189 －0.003 －0.021 0.086 0.093 －0.200 ( ) i i y − f t

0 34 6 实测的270268265263261257253248 Vi/mm 算得的271252651825911 5.303 f(ti)/mm 26.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.003 y1-f( 0.021 0.086 0.093 -0.200 偏差平方和为M=∑[y-f(1)2=0.108165 0 M称为均方误差对本题均方误差 VM=0124 它在一定程度上反映了经验函数的好坏o 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

o y t M 称为均方误差, n 1 对本题均方误差 0.124 7 1 M = 它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 [ ( )] 0.108165 2 7 0 =  − = = i i i 偏差平方和为 M y f t 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 27.125 26.518 25.911 25.303 26.821 26.214 25.607 25.000 －0.125 －0.018 0.189 －0.003 －0.021 0.086 0.093 －0.200 ( ) i i y − f t

例2.在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据 3691215182124 y;57641.931.022.71661228965 其中τ表示从实验开始算起的时间,y表示时刻z反应 物的量试根据上述数据定出经验公式y=f(r)(P70例2) 解:由化学反应速度的理论知,经验公式应取y=ke"r 其中k,m为待定常数.对其取对数得 lny=mz+ink(书中取的是常用对数) 令Y=ny,X=r,a=m,b=1nk Y=aX+b(线性函数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据: 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 24 1 2 3 4 5 6 7 8 其中 表示从实验开始算起的时间, y 表示时刻  反应 物的量. 试根据上述数据定出经验公式 y = f ( ). (P70例2) 解: 由化学反应速度的理论知, 经验公式应取 m y = ke 其中k , m 为待定常数. 对其取对数得 ln y = m + ln k 令Y = ln y , X = , a = m, b = ln k Y = a X + b (线性函数) (书中取的是常用对数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此a,b应满定法方程组: ∑)+(∑)b=∑ tk In yk (∑k)+8b=∑nyk 经计算狸1836a+108b=280994 108a+8b=23.714 解得: 0.104.b=4.364 m=-0.104,k=eb=78.57,所求经验公式为 J=78.57e-0.104x 其均方误差为lM=0.35 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

因此 a , b 应满足法方程组:  = = 8 1 ln k k k  y  = = 8 1 ln k k y 经计算得 解得: 所求经验公式为 0.104 78.57 − y = e 其均方误差为 0.135 7 1 M = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

通过计算确定某些经验公式类型的方法: 观测数据:(x,y1)(i=0,12…n) Ar +1-X △yz=y+1-y;(i=1,2,…,m) (1)若≈定值,则考虑 y=ax+b (2)Amy定值则考虑y=ax用最小二乘 △lnx, 转化为ny=blnx+lna 法确定a,b (3若y≈定值则考虑y=a2 转化为Iny=bx+na HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

观测数据: 用最小二乘 法确定a, b 通过计算确定某些经验公式类型的方法: (x , y ) (i 0,1, ,n) i i =  , ( 1,2, , ) 令xi = xi+1 − xi yi = yi+1 − yi i =  n (1) 若  定值,   i i x y 则考虑 y = ax + b , ln ln (2) 若  定值   i i x y b 则考虑 y = ax , ln (3) 若  定值   i i x y bx 则考虑 y = ae 转化为 ln y = bln x + ln a 转化为 ln y = bx + ln a 机动 目录 上页 下页 返回 结束