同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第四章 不定积分（4.4）有理函数积分

第四节 第四章 有理菡数的积分 基本积分法:直接积分法;换元积分法 分部积分法 ·初等函数、求导 初等函数 积分 本节内容 有理函数的积分 *二、可化为有理函数的积分举例 HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

第四节 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章

有理函数的积分 有理函数 C0x+a1x+……+a R(x) P(x 2(x) box+b,xm m≤n时,R(x)为假分式;m>n时,R(x)为真分式 有理函数 相除多项式+真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 Mx+w k (k 4q<0 q x-a (x-+px+q k 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x   n n n a x  a x   a 0 1 1  m m m b x  b x   b 0 1 1  有理函数: m  n时, R(x) 为假分式; m  n 时, R(x)为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2     ( N , 4 0) 2     k p q 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.将下列真分式分解为部分分式 x+3 (3) X(x l) 2-5x+6 (1+2x)1+x2) 解:(1)用拼凑法 x=(X x(x 1)2x(x-1)2(x-1)2x(x-1) x-(x 1) x(x (x-1)2x-1x HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

例1. 将下列真分式分解为部分分式 : ; ( 1) 1 (1) 2 x x  ; 5 6 3 (2) 2    x x x . (1 2 )(1 ) 1 (3) 2  x  x 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1   x x  x x 2 ( 1) 1  x ( 1) 1  x x 2 ( 1) 1  x ( 1)  x x 2 ( 1) 1  x 1 1  x x 1  x  (x 1) x  (x 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)用赋值法 x+3 x+3 A B 2-5x+6(x-2)(x-3) x-3 x+3 A=(x-2)·原式 x=2x-3x=2 x+3 B=(x-3)·原式 6 x=3 故原式==5+6 HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

(2) 用赋值法 5 6 3 2    x x x ( 2)( 3) 3     x x x  2  x A  3  x B  A  (x  2)原式 x  2 3 2 3     x x x  5 B  (x  3)原式 x  3 2 3 3     x x x  6 故 2 5   x 原式 3 6  x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3)混合法 A Bx+c (1+2x)(1+x2)1+2x1+ 2 A=(1+2x)原式 分别令x=0,1代入等式两端 2 1=-+C B 14B+C 6 原式 42x-1 2 5L1+2x1+x HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

(3) 混合法  (1 2 )(1 ) 1 2 x x   x A 1 2 2 1 x Bx C   A  (1 2x)原式 2 1 x   5 4  机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别令 x  0,1代入等式两端  C 5 4 1 15 2 4 6 1 B C   5 2 B   5 1 C  原式 = 1 2x 4 5 1         2 1 2 1 x x

四种典型部分分式的积分: dx=Alnx-a+C xX-a dx (x-a)-n+C(n≠1) d-a 1-n 3./1x+N 变分子为 x t px t q M(2x+p)+N-MP Mx+w (x-+ px+g ndx再分项积分 (P2-4g<0,n≠1) HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

四种典型部分分式的积分:  Aln x  a C x a C (n 1) n A n     1 ( ) 1   x x a A 1. d   x x a A n d ( ) 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束     x x px q M x N 3. d 2     x x px q M x N n d ( ) 4. 2 ( 4 0 , 1) 2 p  q  n  变分子为 (2 ) 2 x p M  2 M p  N  再分项积分

dx 例2求 1+2x)(1+x2) 解:已知 1「4 2x 1+2x)(1+x 5L1+2x1+x 1+ 2 rd(+2x)1 rd(1+x 2+5 dx 原式 1+ 51+x +x2 In1+2x|-In(1+x)+ arctan x+C HIGH EDUCATION PRESS 例1(3)目录上贞下贝返回结束

例2. 求 . (1 2 )(1 ) d  2  x  x x 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2  x  x    5 1 1 2x 4  2 1 2 x x       2 1 1 x      x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式     2 2 1 d(1 ) 5 1 x x    2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2   ln (1 ) 5 1 2   x  arctan x C 5 1 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求 d +2x+3 1(2x+2)-3 解:原式 +2x+3 d(x2+2x+3) d(x+1) +2x+3 x x+1 =-Inx2+2x+3 arctan +c x-2 思考:如何求 dx (x2+2x+3) 提示:变形方法同例3,并利用P209例9 学 HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

例3. 求 d . 2 3 2 2 x x x x     解: 原式 x x x d 2 3  2    (2 2) 3 2 1 x         2 3 d( 2 3) 2 1 2 2 x x x x ln 2 3 2 1 2  x  x       2 2 ( 1) ( 2) d( 1) 3 x x C x    2 1 arctan 2 3 思考: 如何求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d ? ( 2 3) 2 2 2 x x x x     提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9

说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 例4.求=(2x+2x+5x+5dx x4+5x2+4 解:1= 2x3+5x 2x2+5 dx t dx x+5x2+4 4+5x2+4 d(x+5x2+5)(x2+1)+(x2+4 dx 2·x4+5x2+4 (x2+1)(x2+4) In x+5x<+4+-arctan=+arctanx+C HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

    x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x   x  例4. 求 d . 5 4 2 2 5 5 4 2 3 2        x x x x x x I      x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3      x x x x d 5 4 2 5 4 2 2       5 4 d( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2  x  x  2 arctan 2 1 x   arctan x C 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法

例5求∫ dx +2x+2)2 解:原式=( x2+2x+2)-(2x+2) dx x2+2x+2)2 dx d(x2+2x+2) (x+1)2+1J( x+2x+2)2 arctan(x+1)+ +c x2+2x+2 HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束

例5. 求 d . ( 2 2) 2 2 2    x x x x 解: 原式     x x x d ( 2 2) 2 2 ( 2 2) 2 x  x   (2x  2)     ( 1) 1 d 2 x x       2 2 2 ( 2 2) d( 2 2) x x x x  arctan(x 1) 2 2 1 2    x x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束