同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第五章 定积分（5.1）定积分的概念及性质

第五章 定积分 不定积分 积分学 定积分

第五章 积分学 不定积分 定积分 定积分

第一节 第五章 定积分的欐念及性质 定积分问题举例 定积分的定义 定积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東

第一节 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五章

定积分问题举例 h 矩形面积=ah 梯形面积=(a+b) a b 1.曲边梯形的面积 h 设曲边梯形是由连续曲线y↑ y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0 及x轴,以及两直线x=a,x=b 所围成,求其面积A X b HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y  f (x) ( f (x)  0) 及 x轴，以及两直线 x  a, x  b 所围成 , 求其面积 A . A  ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y  f (x) 矩形面积 a h  a h a h 梯形面积 ( ) b 2 a b h  

解决步骤: 1)大化小.在区间[a,b中任意插入n-1个分点 a=xo <x1<x2< .<xn-1<xn=b 用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取;∈[x-1,x; 作以[x1,x;为底,f(;) 为高的小矩形,并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△41,得 o a X bx A1≈f(51)Ax;(Ax;=x1-x1-1,i=1,2…,n) 学 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

1x i x i1 a x b x y o 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b  0  1  2  n1  n  [ , ] i i 1 i x x    用直线 i x  x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[ , ] i 1 i x x  为底 , ( ) i f  为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( )  i  i  i  i  i  i1 A f  x x x x , i 1,2,,n )  i 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)近似和 A=∑△1≈∑f()Ax i=1 4)取极限.令λ=max{4x;},则曲边梯形面积 1△A ->0 i∑f()Ax ->0 o a x1 xi-lxi bx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東

3) 近似和.     n i A Ai 1     n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n  x    则曲边梯形面积      n i A Ai 1 0 lim       n i i i f x 1 0 lim ( )  机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b x y o 1x i x i1 x  i

2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)∈C[G1,2],且 v(t)≥0,求在运动时间内物体所经过的路程s 解决步骤 1)大化小.在[7,72]中任意插入n-1个分点,将它分成 n个小段[1-1,t;](i=1,2,…,m),在每个小段上物体经 过的路程为△s;(i=1,2,…,n) 2)常代变.任取5∈[1,(],以v(5)代替变速,得 △S;≈v(5;A(i=1,2,…,n) HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, ( ) [ , ], C T1 T2 v  v t  且 v(t)  0, 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 大化小. [ , ], i i 1 i t t 任取   将它分成 [ , ]( 1, 2, , ), 1 t t i n i i   在每个小段上物体经 2) 常代变. 以 ( )代替变速 , i v  得 i i i  s  v( )t [ , ] 1 , 在 T1 T2 中任意插入 n  个分点 s (i 1, 2, , n)  i   (i 1, 2,,n) 已知速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段 过的路程为

3)近似和 s≈∑v()△t 4)取极限 s=lim∑v(;)△t(x=max△1) 1->0 k<isn 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 4大化小,常代变,近似和,取极限” 所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

3) 近似和. i n i i s  v t 1 ( ) 4) 取极限 . i n i i s  v t  1 0 lim ( )  ( max ) 1 i i n  t    上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、定积分定义(P5) 设函数f(x)定义在[a,b上,若对[a,b]的任一种分法 a=x00时∑f(5)△x 1<ⅸ<n 总趋于确定的极限Ⅰ,则称此极限I为函数f(x)在区间 ab上的定积分记作(x)dx a XI xi b 甲f(x)dx=lim∑f(51)△x 1-)0 此时称f(x)在[a,b]上可积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東

o a b x 二、定积分定义 ( P225 ) 设函数 f (x)定义在[a,b]上, 若对[a, b]的任一种分法 , 0 1 2 a x x x x b     n  ,  i  i  i1 令 x x x 任取 [ , ] , i  i i1  x x  i 只要 max{ } 0时 1      i i n  x i n i i  f x 1 ( ) 总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分, 1 x i x i1 x  b a f (x)dx 即   b a f (x)dx i n i i  f x  1 0 lim ( )  此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

积分上限[a,b]称为积分区间 f(x)dx=lim∑f(5)△x →>0 积分下限被 被积 积函数 积表达式 分 变 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分 变量用什么字母表示无关,即 b b b f(x)dx=,f(dt= f(u)d 学 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

  b a f (x)dx i n i i  f x   1 0 lim ( )  积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 和 [a, b] 称为积分区间 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即  b a f (x)dx   b a f (t)d t   b a f (u)d u 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定积分的几何意义 f(x)>0,f(x)dx=A曲边梯形面积 f(x)<0,Jf(x)dx=-4曲边梯形面积的负值 y A5 b ∫/(x)dx=41-42+43-4+4s 各部分面积的代数和 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

定积分的几何意义: f x f x x A b a    ( ) 0, ( )d 曲边梯形面积    b a f (x) 0, f (x)dx 曲边梯形面积的负值 a b y x A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5 f (x)d x A A A A A b a       各部分面积的代数和  A 机动 目录 上页 下页 返回 结束