同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第二章 导数与微分（2.1）导数的概念

导数思想最早由法国 数学家 Ferma在研究 导数与微分 极值问题中提出 微积分学的创始人 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 导数——描述函数变化快慢 微分学 微分—描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)

第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton

第一节 第二章 导数的攏念 引例 二、导数的定义 、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 HIGH EDUCATION PRESS 。③ 页下页返回结束

一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第二章

引例 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 s=f(t 则t0到t的平均速度为 f(t)-f(t0) 自由落体运动 s=2g 而在t0时刻的瞬时速度为 v= lim f(t)-f(to f()(0s 学 HIGH EDUCATION PRESS O6-

一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 s  f (t) 0 t 则t0到 t 的平均速度为 v  ( ) ( ) 0 f t  f t 0 t  t 而在 t0时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v   ( ) ( ) 0 f t  f t 0 t  t 2 2 1 s  gt s o ( )0 f t f (t) t 自由落体运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.曲线的切线斜率 曲线C:y=f(x)在M点处的切线 y=f(x) ——割线MN的极限位置MT 当q→>时) 切线M的斜率 O k= tan a=lim tan q→> 割线MN的斜率 tano=J(x)-f(x0) X-X im(x)-/( x→>x0 X-x HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

x y o y  f (x) C 2. 曲线的切线斜率 曲线 C : y  f (x)   N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当  时) 割线 M N 的斜率 tan  ( ) ( ) 0 f x  f x 0 x  x 切线 MT 的斜率 k  tan    lim tan   lim 0 x x k   ( ) ( ) 0 f x  f x 0 x  x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f(t)-f(to) .f()(),s 瞬时速度p=lim t→>to y=fo 切线斜率k=1imf(x)-f(xo) X-x 两个问题的共性 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度是速度增量与时间增量之比的极限变 角速度是转角增量与时间增量之比的极限化 率 线蜜度是质量增量与长度增量之比的极限问 电流强度是电量增量与时间增量之比的极眼题 ··鲁鲁 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

两个问题的共性: s o 0 t ( ) 0 f t f (t) 瞬时速度 t lim 0 t t v   ( ) ( ) 0 f t  f t 0 t  t 切线斜率 x y o y  f (x) C   N T 0 x M x lim 0 x x k   ( ) ( ) 0 f x  f x 0 x  x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 

二、导数的定义 定义1.设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义 f(x)-fc Im Ay Ay=f(x)-f(*o 0 x→>0△ △ X=x 存在,则称函数f(x)在点x处可导,并称此极限为 y=f(x)在点x0的导数记作 d df(x) dx dx x=x( y1x=/(x0)=1i △ △x→>0△x lim f(xo +Ax)-f(xo)=lim f(xo+h)-f(xo △x-0 h→>0 h HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

二、导数的定义 定义1 . 设函数 y  f (x) 在点 0 x 0 lim xx 0 0 ( ) ( ) x x f x f x   x y x     0 lim ( ) ( ) 0 y  f x  f x 0  x  x  x 存在, f (x) 并称此极限为 y  f (x) 记作: ; 0 x x y   ( ) ; 0 f  x ; d d 0 x x x y  d 0 d ( ) x x x f x  即 0 x x y   ( ) 0  f  x x y x     0 lim x f x x f x x        ( ) ( ) lim 0 0 0 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0     则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x 处可导, 在点 0 x 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

运动质点的位置函数=f(t) 在时刻的瞬时速度 ()().s v=lim f(t)-f(to) f'(t0) 曲线C:y=f(x)在M点处的切线斜率 k= li f(x)-f(x0) y=f(x x→>x0 X-X 0 f(o) 说明:在经济学中,边际成本率 Xo x 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束

运动质点的位置函数 s  f (t) s o 0 t ( ) 0 f t f (t) 在 时刻的瞬时速度 t 0 t lim 0 t t v   ( ) ( ) 0 f t  f t 0 t  t 曲线 C : y  f (x) 在 M 点处的切线斜率 x y o y  f (x) C  N T 0 x M x lim 0 x x k   ( ) ( ) 0 f x  f x 0 x  x ( ) 0  f  t ( ) 0  f  x 说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

lim f(x)-f(xo) △ △y=f(x)-f(x0 Im x→>x △x=x-x x-xo △x→0△x 若上述极限不存在,就说函数在点x不可导 若1im2=,也称f(x)在xo的导数为无穷大 △x→>0△x 若函数在开区间内每点都可导,就称函数在内可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作:y;f"( dy df(x r(x),dx 注意:f(x)=f(x)x=x0≠ df(xo) HIGH EDUCATION PRESS ◎0@ 机动目录上贞下臾返回结束

0 lim xx 0 0 ( ) ( ) x x f x f x   x y x     0 lim ( ) ( ) 0 y  f x  f x 0  x  x  x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x 若 lim , 0       x y x 也称 f (x) 在 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( ) 0 f  x 0 ( ) x x f x    x f x d d ( ) 0  就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求函数f(x)=C(C为常数)的导数 解:y=im(x+A)-/(x)=1m 0 △x→>0 △x △x→>0△x 即(Cy′=0 例2求函数∫(x)=x"(n∈N+)在x=a处的导数 w4: f'(a=lim J(x)-f(a=lim r-o? x→a X-a x→>ax- =1im(x-+axn-2+a2x-3+ x→a -na HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

例1. 求函数 f (x)  C (C 为常数) 的导数. 解: y  x C C x     0 lim  0 即 (C )  0 例2. 求函数 ( ) ( N )  f x  x n n 在x  a处的导数. 解: x a f x f a  ( )  ( ) xa f (a)  lim x a x a n n x a     lim lim( xa  n1 x 2  n a x 2 3  n a x  ) 1  n a 1  n n a x f x x f x  (   )  ( ) 0 lim    x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 对一般幂函数y=x“(为常数) (x) x -1 (以后将证明) 例如,(√xy=(x2)=4x x 4 X x√x HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

说明： 对一般幂函数  y  x (  为常数) 1 ( )      x  x 例如，( x ) ( ) 2 1  x  2 1 2 1   x 2 x 1     x 1 ( ) 1    x 11  x 2 1 x  ) 1 (  x x ( ) 4 3    x 4 7 4 3   x （以后将证明） 机动 目录 上页 下页 返回 结束