同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第七章 空间解析几何与向量代数习题课

习题倮 第七章 空间解析几何 内容小结 实例分析 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

习题课 一、 内容小结 二、实例分析 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间解析几何 第七章

内容小结 1.空间直线与平面的方程 空间平面 般式Ax+By+C+D=0(42+B2+C2≠0) 点法式A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-0)=0 截距式x a b c y-y1 三点式x2-x1y2-n1=2-=1=0 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

一、内容小结 空间平面 一般式 点法式 截距式 Ax  By  Cz  D  0 ( 0) 2 2 2 A  B  C    1 c z b y a x 三点式 0 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1           x x y y z z x x y y z z x x y y z z 1. 空间直线与平面的方程 :( , , ) 0 0 0 点 x y z ( ) ( ) ( ) 0 A x  x0  B y  y0  C z  z0  法向量 : n  (A, B, C) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

空间直线 般式 A1x+B1y+C12+D1=0 A2x+B2y+C2+D2=0 对称式 x-x0y=y02-20 Co tmt 参数式 y=yo tn 2=20+Pt (x0,y02=0)为直线上一点 S=(m,n2P)为直线的方向向量 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

为直线的方向向量. 空间直线 一般式 对称式 参数式            0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D           z z pt y y nt x x mt 0 0 0 p z z n y y m x x0 0  0     ( , , ) 0 0 0 x y z s  (m, n, p ) 为直线上一点; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.线面之间的相互关系 面与面的关系 平面I1:41x+B1y+C1z+D1=0,n1=(4,B1,C1) 平面∏2:A2x+B2y+C2+D2=0,n2=(A2,B2C2) 垂直:n1·n2=0AA2+B1B2+CC2,=0 B 平行:n1×m2=0 B 夹角公式:cos ny' n2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

面与面的关系 0 A1A2  B1B2  C1C2  2 1 2 1 2 1 C C B B A A   平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 2.线面之间的相互关系 : 0, ( , , ) 1 1 1 1 1 1 A1 B1 C1  A x  B y  C z  D  n  : 0, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 A2 B2 C2  A x  B y  C z  D  n  0 n1  n2  0 n1  n2  1 2 1 2 cosθ n n n  n  机动 目录 上页 下页 返回 结束

线与线的关系 直线L1;x y-y1 s1=(m1,n12p1) 直线L2 x-x2y-y22-2 =(m2,n2,p2 垂直 =0 m1m2+n12+p1P2=0 平行:s1×s=0 m 2 n 2 p2 夹角公式 COS HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

, 1 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x L      直线 ： 0 m1m2  n1n2  p1 p2  , 2 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x L      ： 2 1 2 1 2 1 p p n n m m   线与线的关系 直线 垂直: 平行: 夹角公式: ( , , ) 1 1 1 1 s  m n p ( , , ) 2 2 2 2 s  m n p 0 s1 s2  0 s1  s2  1 2 1 2 cos s s s s   机动 目录 上页 下页 返回 结束

面与线间的关系 平面:Ax+By+Cz+D=0,n=(A,B,C) 直线:xx=y-y=2 、S=(m,n,P) 垂直:s×n=0 m n p AB C 平行:s:n=0 mA+nB+pC=0 夹角公式 s· sin gp s n HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

C p B n A m   平面: 垂直： 平行： 夹角公式： m A  n B  pC  0 面与线间的关系 直线: Ax  By  Cz  D  0, n  (A, B, C) , s (m, n, p) p z z n y y m x x       s  n  0 s n  0 s n s n sin  机动 目录 上页 下页 返回 结束

3相关的几个问题 (1)过直线 A1x+B1y+C12+D1=0 L 142x+B2y+C2=+D2=0 的平面束方程 11(41x+B1y+C1z+D1) 2(A2x+B2y+C22+D2)=0 (41,22不全为0) HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

3. 相关的几个问题 (1) 过直线            0 0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D L 的平面束 ( ) 1 1 1 D1 A x  B y  C z  ( ) 0  A2 x  B2 y  C2 z  D2  方程  , 0   1  2 不全为 1  2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)点M0(x0y0,=0)到平面Ⅱ:Ax+By+Cz+D=0 的距离为 M1Mo·n Axo+Byo+Czo+D 0 +B2+C 2 ∏ M HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

(2)点 的距离为 Ax0  By0  Cz0  D  2 2 2 A  B  C M0 (x0 , y0 ,z0 ) 到平面  ：A x+B y+C z+D = 0  d M0 M1 n  n M M n d   1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)点M0(x0,y20)到直线 L:x-1=y-y1 0(x0,o,20) 的距离为 MoM1×s s=(mn,p M1(x1,y121) j k m2+n2+p2 x0y1=y021-20 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

i j k ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 到直线 的距离 p z z n y y m x x L 1 1 1 :      为 (3) 点 2 2 2 1 m  n  p  1 0 1 0 1 0 x  x y  y z  z m n p d  s M M s d   0 1 s  (m,n, p) ( , , ) 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 0 0 0 0 M x y z L 机动 目录 上页 下页 返回 结束

实例分析 例1求与两平面x-4x=3和2x-y-5z=1的交线 平行,且过点(-3,2,5)的直线方程 提示:所求直线的方向向量可取为 k s=n1 xn 0-4|=(-4,-3,-1) 2-15 利用点向式可得方程 x+3y-2 5 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

二、实例分析 例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 提示: 所求直线的方向向量可取为 利用点向式可得方程 4 x  3 1 0  4  (4, 3,1) 2 1  5 3 2  y 1 5  z 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程. 1 2 s  n  n i j k  机动 目录 上页 下页 返回 结束