同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第二章 导数与微分习题课

习题倮 第二章 导数与微分 导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

习题课 一、 导数和微分的概念及应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数和微分的求法 导数与微分 第二章

导数和微分的概念及应用 导数:f(x)=lim f(x+△x)-f(x) △x->0 △x 当△x→>0+时,为右导数f(x) 当△x→>0时为左导数f∫(x) 微分:df(x)=f(x)dx 关系:可导 可微(思考P124题1) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

一、 导数和微分的概念及应用 • 导数 : 当 时,为右导数 当 时,为左导数 • 微分 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • 关系 : 可导 可微 ( 思考 P124 题1 )

应用: 1)利用导数定义解决的问题 1)推出三个最基本的导数公式及求导法则 (C)=0;(lnx) sin x)=cos x 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊 函数在特殊点处的导数 3)由导数定义证明一些命题 2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 (2)用导数定义求极限 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 C x x x x ( ) 0; (ln ) ; (sin ) cos 1  =  =  = 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1设f(x0)存在求 im(xo+△x+(Ax))-/(x △x->0 △x 解: 原式=lim f(x+△x+(△x)2)f(x0)△x+(△x) △x+(△x)2 f(x0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1.设 ( ) 0 f  x 存在,求 . ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 x f x x x f x x  +  +  −  → 解: 原式=         +  +  −  → x f x x x f x x ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 2 x + (x) 2 x + (x) ( ) 0 = f  x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2若f(1)=0且f(1)存在,求lim f(sin*x+cos x) x→>0(e-1)tanx 解:原式=lim f(sin-x+cos x x->0 lim(sin'xcos x)=1E f(1)=0 x>0 联想到凑导数的定义式 lim (+sin- x+cosx-D)-f(). sin x+cos x-1 x→>0 sin x+Cosx-l f(1)(1 f(1) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2.若 f (1) = 0 且 f (1) 存在 , 求 . ( 1)tan (sin cos ) lim 2 0 e x f x x x x − + → 解: 原式 = 2 2 0 (sin cos ) lim x f x x x + → 且 联想到凑导数的定义式 2 2 0 (1 sin cos 1) lim x f x x x  + + − = → sin cos 1 2 x + x − sin cos 1 2 − f (1) x + x − = f (1) ) 2 1 (1− (1) 2 1 = f  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3设f(x)在x=2处连绩且1im(x)=3 2x-2 求∫(2) A#: f(2)=imf(x)=lim[(x-2) f(x) 0 X f(2)=lim f(x)-f(2) x→>2 x Im 2x-2 思考:P124题2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例3.设 f (x) 在 x = 2 处连续,且 3, 2 ( ) lim 2 = → x − f x x 求 f (2). 解: f (2) = lim ( ) 2 f x x→ ] ( 2) ( ) lim[( 2) 2 − = −  → x f x x x = 0 2 ( ) (2) (2) lim 2 − −  = → x f x f f x 2 ( ) lim 2 − = → x f x x = 3 思考 : P124 题2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4设f(x)= lim re?(x+ax+b n x-1)+1 试确定常数a,b使f(x)处处可导并求f(x) atb x1 x1时,f(x)=2x 利用f(x)在x=1处可导,得 ∫f()=/(1)=f()a+b=1=(+b+1) ∫(1)=f(1) 即 d 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例4.设 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a; x 1时，f (x) = 2x. f (1 ) = f (1 ) = f (1) − + (1) (1) − + f  = f  利用 f (x)在 x =1处可导， 得 即 a +b =1 ( 1) 2 1 = a + b + a = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

atb x1 x1时,f(x)=2x a=2,b=-1,f(1)=2 2 f(x) 判别:f(x)是否为连续函数? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

 a = 2, b = −1, f (1) = 2       = 2 , 1 2 , 1 ( ) x x x f x 判别: 是否为连续函数 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a, x 1时，f (x) = 2x

in-,x≠0 例5设f(x)= 讨论f(x)在x=0 x=0 处的连续性及可导性 HE:: lim f(x)=limxsin-=0=f(o) x->0 所以∫(x)在x=0处连续 f(x)-f(0) r sin 又 m lim x>0 x->0 lim xsin-=0>f(0)=0 即f(x)在x=0处可导 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

设 解: 又 例5. 所以 在 处连续. 即 在 处可导 . 处的连续性及可导性. f (0) = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、导数和微分的求法 正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧 (1)求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 2)隐函数求导法 对数微分法 (3)参数方程求导法、转化 极坐标方程求导 (4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性) (5)高阶导数的求法 逐次求导归纳; 间接求导法;利用莱布尼兹公式 HIGH EDUCATION PRESS 90@ 机动目录上页下页返回结束

二、 导数和微分的求法 1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 对数微分法 (3) 参数方程求导法 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 转化 (5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳 ; 间接求导法; 利用莱布尼兹公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束