同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第五章 定积分（5.5）反常积分审敛法

第五节 第五章 反常积分的审敛法 工函数 反常积分无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、无界函数反常积分的审敛法 第五节 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 函数 第五章

无究限反常积分的审敛法 定理1.设f(x)∈Ca,+∞),且f(x)≥0,若函数 F(x)=f(td 在a+∞)上有上界,则反常积分∫f(x)dx收敛 证:f(x)≥0,F(x)在[a,+∞)上单调递增有上界, 根据极限收鲛准则知 x lim F(x)=lim f(dt x→+0 x→)+0 存在,即反常积分f(x)dx收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

一、无穷限反常积分的审敛法 定理1. 若函数  = x a F(x) f (t) d t 则反常积分 ( )d 收敛.  + a f x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据极限收敛准则知  →+ →+ = x x x a lim F(x) lim f (t) d t 存在 , 即反常积分 ( )d 收敛 .  + a f x x

定理2.(比较审敛原理)设f(x)∈C[a,+∞),且对充 分大的x有0≤f(x)≤g(x),则 8(x)dx收敛 f(x)dx收敛 + f(x)dx发散 g(x)dx发散 C 证:不失一般性,设x∈[a,+∞)时,0≤f(x)≤g(x) 若g(x)d收敛,则对t>a有 ∫(x)dxs∫g(xdsg(d 故「f(x)dx是t的单调递增有上界函数,因此 学 HIGH EDUCATION PRESS 10°a8

定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x)C[a, + ), 分大的x有 且对充 0  f (x)  g(x) , 则 g x x收敛 a ( )d  + g x x发散 a ( )d  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 不失一般性 , 则对t  a有 f x x t a ( )d  g x x t a ( )d   故 f x x是 t 的 t a ( )d  单调递增有上界函数 , 因此

lim f(x)dx f(x)dx t→+∞a 极限存在,即反常积分f(x)d收敛 若∫f(x)d发散,因为t>a时有 0≤J/(x)dxs∫g(x)dx 令t→+∞,可见反常积分g(x)dx必发散 +∞ 收敛,p>1 说明:已知 d (a>0) 发散,p≤1 故常取g(x)=-(4>0)作比较函数,得下列比较审敛法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

f x x f x x a t t a lim ( )d ( )d   + →+ = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 已知 得下列比较审敛法. 极限存在

定理3.(比较审敛法1)设非负函数∫(x)∈C{a,+∞) (a>0) 1)若存在常数M>0,P>1,使对充分大的x有 f(x) P ∞ f(x)dx收敛; 2)若存在常数N>0,P≤1,使对充分大的x有 (x)≥N 则∫。f(x)dx发散 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定理3. (比较审敛法 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p x M f (x)  p x N f (x)  p 1, p 1

o Sin x 例1判别反常积分 dx的敛散性 解: SIn r 0 3/x4+13 由比较审敛法1可知原积分收敛 + oo 思考题:讨论反常积分 dx的敛散性 +1 提示:当x1时,利用 +13(x+1)3x+ 可知原积分发散 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 判别反常积分 解: 的敛散性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 的敛散性 . 提示: 当 x≥1 时, 利用 可知原积分发散

定理4(极限审敛法1)若f(x)∈C[a,+∞),且,f(x)≥0 满足 lim xf(x)=l xX→)+0 则有1)当P>10≤11时,根据极限定义,对取定的E>0,当x充 分大时,必有xf(x)≤1+6,即 M 0≤f(x)≤ (M=1+) 可见∫。/(x)dx收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理4. (极限审敛法1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x l p x = →+ lim ( ) 则有: 1) 当 2) 当 证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的 当 x 充 分大时, 必有 , 即 满足

当p≤1时,可取E>0,使l-E>0,(=+0时用任意正 数N代替l-E),必有 x2f(x)≥l-6 8 即 f(x)≥ N=l-) 可见∫。f()dx发散 注意:imx2f(x)=hinf(x) 此极限的大小刻画了 x-)+00 x→>+∞时f(x)趋于0的快慢程度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 1时, 可取   0, 必有 即 使l −  0, (l = + 时用任意正 数N 代替l − ), 注意: 此极限的大小刻画了

dx 例2.判别反常积分 解 imx2+x2的敛散性 x√1+x2x→)+0/-,+ 根据极限审敛法1,该积分收敛 例判别反常积分,dx的敛散性 1+ 解 x→)+∞1+x2x→+1+/=l m 根据极限审敛法1,该积分发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. 判别反常积分  + + 1 2 1 d x x x 的敛散性 . 解: 2 2 1 1 lim x x x x +  →+  机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 lim 2 1 + = →+ x x =1 根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例3. 判别反常积分 x x x d 1 1 2 2 3  + + 的敛散性 . 解: 2 1 lim 2 3 2 1 x x x x +  →+  2 2 1 lim x x x + = →+ =1 根据极限审敛法 1 , 该积分发散

定理5若f(x)∈Ca,+∞),且(x)dx收敛 则反常积分f(x)dx收敛 证:令(x)=是f(x)+f(x)]则0≤(x)≤f(x) + f(x)dx收敛,∫。o(x)dx也收敛 而 f(x)=20(x)-|f(x) f(x)dx=2 9(x)dr-/-∞ ∫fx)dx 可见反常积分f(x)dx收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定理5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 ( ) [ , ),且 （ ）d 收敛,  +  +  a f x C a f x x 则反常积分 ( )d 收敛.  + a f x x 证： ( ) [ ( ) ( ) ], 2 1 令 x = f x + f x 则 0 (x)  f (x) （ ）d 收敛,  + a  f x x ( )d 也收敛,  +  a  x x f (x) = 2(x) − f (x) f x x x x f x x a a a ( )d 2 ( )d ( ) d    + + + =  − 而 可见反常积分 f (x)d x 收敛. a  +