同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第五章 定积分（5.4）反常积分

第四节 第五章 反常积分 积分限有限 常义积分 被积函数有界 推广 反常积分(广义积分) 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章

无穷限的反常积分 引例曲线y=2和直线x=1及x轴所围成的开口曲 边梯形的面积可记作 A 其含义可理解为 b dx- lim b A=lim x o( x b lim 1 b>+oo 6 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 2 1 x y = A 1 可记作  + = 1 2 d x x A 其含义可理解为  →+ = b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim       = − →+       = − b→+ b 1 lim 1 =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.设f(x)∈C[a2+∞),取b>a,若 lim f(x)dx b→》 存在,则称此极限为∫(x)的无穷限反常积分,记作 f(x)dr= lim f(r)dr b→+∞ 这时称反常积分Jf(x)d收敛;如果上述极限不存在 就称反常积分「f(x)d发散 类似地,若f(x)∈C(-∞,b],则定义 f(x)dx= lim f(r)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义1. 设 f (x)C[a, + ), 取b  a, 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C(−, b], 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若f(x)∈C(-∞,+∞),则定义 f(x dx= lim f(x)dx+ lim f(x) b→)+0 (c为任意取定的常数) 只要有一个极限不存在,就称「f(x)d发散 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 说明:上述定义中若出现∞-∞,并非不定型 它表明该反常积分发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

若 f (x)C(−, + ), 则定义 f x x c a a lim ( )d  →− f x x b b c lim ( )d  →+ + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现  −  , 并非不定型 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散

若F(x)是f(x)的原函数,引入记号 F(+∞)=limF(x);F(-∞)=limF(x) x→)+0 X→)-00 则有类似牛-莱公式的计算表达式 + f(x)dx=F(x) +ab =F(+∞)-F(a) f(x)dx=F(x)=F(6)-F(oo) ∫ ∞ f(x)dx=F(x)=F(+∞)-F(-∞) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

引入记号 F( ) lim F(x) ; x→+ + = F( ) lim F(x) x→− − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d  + = F(x) = F(+) − F(a) f x x b ( )d − = F(x) = F(b) − F(−) f (x)dx  + − = F(x) = F(+) − F(−) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1计算反常积分 +∞dx 1+x dx 解 arctan x y 1+X +x 2 O +∞xdv 思考 2=0对吗? 01+x +∞xdx1 分析: ln(+x2)原积分发散! ∞1+x22 注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零”的性质否则会出现错误 HIGH EDUCATION PRESS 10°a8

例1. 计算反常积分 解: + − = [arctan x] ) 2 (  − − 2  = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y 2 1 1 x y + = 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误

例2.证明第一类p积分 当p>1时收敛;p 时发散 证当p=1时有 dx =lInux 当p≠1时有 d x7+ a 因此,当p>1时反常积分收敛,其值为 当p1时,反常积分发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有   + = a ln x = + − +    −  = a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p 1 , p 1 1 1 − − p a p 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . +  , 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 ; 1 1 − − p a p 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3计算反常积分 lo te dt(P>0 解:原式 e pt /+oo 1 +0。ptdt 0 pt 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例3. 计算反常积分 解: pt e p t − 原式 = −  + − + 0 d 1 e t p pt pt e p − = − 2 1 2 1 p = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无界函数的反常积分 引例:曲线y=产与x轴y轴和直线x=1所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 A ONx √x 其含义可理解为 A=1cl dx E→>0+√x→)0+y m =lim2(1-√E)=2 E→>0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 +  → = 1 0 d lim   x x A   1 lim 2 0 x → + = lim 2(1 ) 0   = − → + = 2 x y 1 = 0 A x y  机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义2.设f(x)∈C(a,b],而在点a的右邻域内无界 取E>0,若极限imf(x)d存在,则称此极限为函 E→0+a+E 数f(x)在[a,b上的反常积分,记作 C,A(x)dx= lim f()dx 这时称反常积分f(x)d收敛;如果上述极限不存在 就称反常积分f(x)dx发散 类似地,若f(x)∈C[a,b),而在b的左邻域内无界 则定义 e→0+2f(x)dx (r)dx= lim HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定义2. 设 f (x)C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函