同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第七章 空间解析几何与向量代数（7.6）空间直线及其方程

第六节 第七章 空间直线及其方程 空间直线方程 二、线面间的位置关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第六节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七章

空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线,因此其一般式方程 A1x+B1y+C12+D1=0 A,x+ By+C22+D2=0 (不唯一) L y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、空间直线方程 x y z o 0 A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.对称式方程 已知直线上一点M(x02y020)和它的方向向量 S=(m,n2p),设直线上的动点为M(x,y,z) 则 MoM∥s /M(x,y,) 故有 x-x0y=y02-2 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 说明:某些分母为零时,其分子也理解为零 例如,当m=n=0,p≠0时,直线方程为 y=y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m x x − 0    = = 0 0 y y x x 设直线上的动点为 则 M (x, y,z) n y y − 0 = p z z − 0 = 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 s 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z) 例如, 当 m = n = 0, p  0 时, 和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.参数式方程 设 x0y-y02-20 得参数式方程: x=Xo +mt y=yo+nt 0+p HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 x = x + mt 0 y = y + nt 0 z = z + pt 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1用对称式及参数式表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0 解先在直线上找一点. 令x=1解方程组y+=2 3z=6 得y=0 故(1,0,-2)是直线上一点 再求直线的方向向量s. 交已知直线的两平面的法向量为 1=(1,1,1),m2=(2,-1,3) S⊥n1,s⊥ S=n×n 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 3 6 2 − = + = − y z y z 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y = 0, z = −2 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . s . 1 n2  s ⊥ n ,s ⊥ n1 n2  s =  机动 目录 上页 下页 返回 结束

i k S=hxn2=111=(4,-1,-3) 2-13 故所给直线的对称式方程为x-1y_z+2 3 x=1+4t 参数式方程为{y=-t z=-2-3t 解题思路:先找直线上一点; 再找直线的方向向量. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 = t 4 x −1 −1 = y 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. = (4,−1,−3) n1 n2 s =  2 1 3 1 1 1 − = i j k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线LL的方向向量分别为 L1 P1),S2=( 则两直线夹角g满足 COS Pp m,m2+n,n2+pip2 m1+n1+p1 m2+n2+P2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L2 L1  二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角  满足 1 2 设直线 L , L = 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 1 2 1 2 1 2 m m + n n + p p 2 1 2 1 2 m1 + n + p 2 2 2 2 2 m2 + n + p 1 2 1 2 cos s s s  s  = 1 s 2 s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别有: (1)L1⊥L m1m2+1n2+P1pD2=0 (2)L1∥L2 S1//s 1212 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别有: 1 2 (1) L ⊥ L 1 2 (2) L // L m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 1 2 s ⊥ s 1 2 s //s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2求以下两直线的夹角 X z+3 x+y+2=0 41 x+2z=0 解:直线L的方向向量为s1=(l,-4,1) i jk 直线L2的方向向量为s2=110=(2,-2,-1) 二直线夹角φ的余弦为 1×2+(4)x(-2)+1×(-1) cos pp +(-42+12√22+(-2)2+(-1) 从而 4(参考P332例2) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 (参考P332 例2 )    + = + + = 2 0 2 0 : 2 x z x y L cos = 从而 4   = 的方向向量为 的方向向量为 = (2, − 2, −1) 1 2 + (−4)(−2) +1(−1) 2 2 2 1 + (−4) +1 2 2 2 2 + (−2) + (−1) 1 0 2 2 1 1 0 i j k s = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时规定其夹角 L 设直线L的方向向量为s=(m,n,p) 平面∏的法向量为n=(,B,C) ∏ 则直线与平面夹角满足 sin cos(s, n) y·n Am+ Bn+Cp m tn t p +B2+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; L  2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足  2 2 2 2 2 2 m n p A B C Am Bn C p + + + + + + = 直线和它在平面上的投影直 s = (m,n, p) n = (A,B,C) ︿ sin = cos( s , n) s n s  n = s n 机动 目录 上页 下页 返回 结束