同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第七章 空间解析几何与向量代数（7.4）空间曲线及其方程

第四节 第七章 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第七章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线其一般方程为方程组 F(x,y’,z)=0 G(,y2)=0G(x,32)=0LF(xy2)=0 例如方程组 x+ 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C. HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 1 S 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如方程组 x+y-ax=o 表示上半球面与圆柱面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. y x z a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标xy=表示成参数的函数 ((( r=r 称它为空间曲线的 y=y 参数方程. 例如,圆柱螺旋线的参数方程为 M x=acos o t y= asino令O=t,b X x=acos e O z=vt y=asine z=6e 当O=2x时,上升高度h=2xb,称为螺距 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x y o 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线    v 令 = t , b = h = 2 b 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 .  M 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1将下列曲线化为参数方程表示 r t y x+3z=6 ax=o 解:()根据第一方程引入参数,得所求为 x= cos t t (0≤t≤2丌) (6-2c0st) 2)将第二方程变形为(x-)2+y2=4,故所求为 x=g+g cos t y=aInt (0≤t≤2丌) 2 2 CoSt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x=0 例2求空间曲线:{y=W()(a≤1≤绕z轴旋转 z=o(t) 时的旋转曲面方程 解:任取点M1(q(t),v(1),0()∈I,点M绕z轴旋转 转过角度后到点M(x,y,z),则 x=√q2(t)+v2(t)cosb a≤t≤B y=g2()+v20O)sin(0≤0≤2z z=O(1) 这就是旋转曲面满足的参数方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求空间曲线 : 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程

例如,直线y=t绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 z=2t x=√1+t2cos ∞<t<+∞ y=1+ t- sin e(o≤≤2n 2t 消去t和O,得旋转曲面方程为 4(x2+y2)-z2=4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和  , 得旋转曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x=asin 又如,xoz面上的半圆周{y=0 (0≤q≤x) z=acos p 绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 x=asin cos 6 0≤q≤丌 y=asin o sin 6 0<6<2丌 z=acos p 说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如 x=x(s,1) y=y( Z=Z(S HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y’,z)=0 G(x,y,z)=0 消去z得投影柱面H(x,y)=0 则C在xoy面上的投影曲线C为 H(x,y)=0 =0 消去x得C在y0z面上的投影曲线方程 ∫R(y,=)=0 x=0 消去y得C在ax面上的投影曲线方程7(x,)=0 y=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程    = = 0 ( , ) 0 z H x y    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z z y x C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如 +(y-1)2+(z-1)2=1 C 在xoy面上的投影曲线方程为 x+2y2 2y=0 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z y x C 1 o 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为    = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y    + − + − = + + = ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C 机动 目录 上页 下页 返回 结束