同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第七章 空间解析几何与向量代数（7.3）曲面及其方程

第三节 第七章 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

四、二次曲面 第三节 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第七章

曲面方程的概念 引例:求到两定点4(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程 解:设轨迹上的动点为M(x,y,2),则AM=BM,即 (x-1)2+(y-2)2+(=-3)2 (x-2)2+(y+1)2+(2-4)2 化简得2x-6y+2z-7=0 说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x 1)  ( y  2)  (z  3) 化简得 2x  6y  2z  7  0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2  (x  2)  ( y 1)  (z  4) 解:设轨迹上的动点为M (x, y,z),则 AM  BM , 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程; (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程, 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程, F(x,y,z)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题: (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,“x° 求曲面方程 (2)已知方程时,研究它所表示的几何形状 (必要时需作图 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

定义1. F(x, y,z)  0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1求动点到定点M0(x0,y,=0)距离为R的轨迹 方程 解:设轨迹上动点为M(x,y,2依题意MoM|=R (x-x0)2+(y-y)2+(z-20)2=R 故所求方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(-20)2=R 特别,当M在原点时,球面方程为 M x+y+2 R z=±√R2-x 表示上(下)球面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

故所求方程为 例1. 求动点到定点 M (x, y,z), ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 M0M  R 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M 0 2 2 2 z   R  x  y 表示上(下)球面 . x  x  y  y  z  z  R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x  x )  ( y  y )  (z  z )  R 2 2 2 2 x  y  z  R 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.研究方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样 的曲面 解:配方得(x-1)2+(y+2)2+z2=5 此方程表示球心为M0(-2,0) 半径为√5的球面 说明:如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x4+y4+2)+Dx+ Ey+ Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 个球面,或点,或虚轨迹 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

例2. 研究方程 2 4 0 2 2 2 x  y  z  x  y  解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M0  说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. ( ) 0 2 2 2 A x  y  z  Dx  Ey  Fz  G  球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. ( 1) ( 2) 5 2 2 2 x   y   z  机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、旋转曲面 定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴 例如 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

定义2. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴 .例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

建立oz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程: 给定y0z面上曲线C:f(y,z)=0 若点M1(0,y1,=1)∈C,则有 f(12=1)=0 当绕z轴旋转时,该点转到 =M1(0,y1,=1) M(b,=) M(x,y,=),则有 2+y y 故旋转曲面方程为 X f(±x2+,2 y2,2)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, ( , ) 0 f y1 z1  (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yoz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y,z) 1 2 2 1 z  z , x  y  y 则有 ( , ) 0 2 2 f  x  y z  则有 该点转到 f ( y,z)  0 o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考:当曲线C绕y轴旋转时,方程如何? C:f(y,z)=0 f(y,±√x2+z2)=0 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f ( y,z)  0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y  x  z  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为x 的圆锥面方程 解:在yoz面上直线L的方程为 z=cota 绕z轴旋转时,圆锥面的方程为 M(0,y,2) 土√x2+ y cota a=cot a 两边平方 X =a(x-+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 z  y cot 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 cot 2 2 z   x  y ( ) 2 2 2 2 z  a x  y 令 a  cot x y z  两边平方 L M (0, y,z) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4求坐标面x上的双曲线x2=2=1分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解:绕x轴旋转所成曲面方程为 v +2 绕z轴旋转所成曲面方程为 这两种曲面都叫做旋转双曲面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

x y 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 1 2 2 2 2   c z a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c z a x y 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束