同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第七章 空间解析几何与向量代数（7.1）向量及其线性运算

第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中 空间飛式一点线面 数量关系一坐标,方程(组) 基本方法一坐标法;向量法

数量关系 — 第七章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数

第一节 第七章 向量及其线性运算 向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七章

向量的概念 向量:既有大小,又有方向的量称为向量(又称矢量) 表示法:有向线段M1M,或a,或a 向量的模:向量的大小记作M1M2,或团d或a1 向径(矢径)起点为原点的向量 自由向量:与起点无关的向量 单位向量:模为1的向量,记作d或a 零向量:模为0的向量,记作0,或0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念 向量: (又称矢量). M1 M2 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若向量d与b大小相等,方向相同,则称a与b相等 记作a=b 若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行记作 a∥b;规定:零向量与任何向量平行; 与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线 若k(C≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k 个向量共面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则 (a+b)+ b/a+5 6+c a+(6+C)/ a+6 三角形法则 b atb 运算规律:交换律a+b=b+d 结合律(a+b)+c=a+(b+C)=a+b+ 三角形法则可推广到多个向量相加 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 b b a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c a b c a + b b + c a + (b + c ) (a + b) + c a a a + b a + b

1 +a2+a2++as HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 s a3 a4 a5 a2 a1 a1 a2 a3 a4 a5 s = + + + +

2.向量的减法 b-a=b+(-a) b b 特别当b=d时,有 b a-a=a+(-a)=0 三角不等式 d+b≤d+ d-b≤d+b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 向量的减法 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a

3向量与数的乘法 λ是一个数,与a的乘积是一个新向量,记作a 规定:>0时,2a与a同向,Aa=a|; 2<0时,2a与a反向,a=-4d; =0时,d=0 总之 na=nl 运算律:结合律(a)=1(a)=l 分配律(+)a=a+a (a+b)=元a+b 若a≠0则有单位向量a=a.因此a={a|d° HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

a a    =  3. 向量与数的乘法  是一个数 , a .   规定 : 1a a ;   = 可见 1a a ;   − = −  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 ( a)    ( a)  =   a  =   分配律 (a b)    + a b   =  +  =  则有单位向量 a . 1 a a   因此    a = a a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.设d为非零向量,则 b—b=元a(λ为唯一实数) 证:“一设d6,取=×(下b/,a,6同向时 取正号,反向时取负号,则b与λd同向,且 b 2a=a=a=b 故b=a 再证数λ的唯性.设又有b=a,则(4-)d=0 而a≠0,故2-=0,即=4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ＝± 且 再证数  的唯一性 . 则 故  −  = 0, 即 =  . a∥b 设 a∥b 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与  a 同向, 设又有 b＝ a , ( − )a = 0 = = b 故 b =  a. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

”已知b=λa,则 当λ=0时,b=0 当>0时,d,b同向 d∥b 当2<0时,d,b反向 例1.设M为ABCD对角线的交点,AB=d,AD=b 试用d与b表示MA,MB,MC,MD 解:d+b=AC=2MC=-2MAD b-a=Bd=2MD=-2 MB M M=-1(a+b)MB=-2(b-a) a B 1C=2(a+b) MD=2(b-a 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

“ ” 则 例1. 设 M 为 M A B 解: D C ABCD 对角线的交点, b a AC = −2MA BD = −2MB 已知 b＝ a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 试用a 与b 表示 MA,MB,MC,MD. a + b = b − a = ( ) 2 1  MA = − a + b ( ) 2 1 MB = − b − a ( ) 2 1 MC = a + b ( ) 2 1 MD = b − a 机动 目录 上页 下页 返回 结束