同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第一章 函数与极限（1.3）函数的极限

第三节 第一章 嶽的极限 对y=f(x),自变量变化过程的六种形式 x→>x0(4)x→∞ (2)x→>x0(5)x→>+∞ (3)x→>x0(6)x->-0 本节内容 自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限 第三节 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限

自变量趋于有限值时函数的极限 1.x→>xo时函数极限的定义 引例测量正方形面积(真值:边长为x;面积为A) 直接观测值确定直接观测值精度δ 边长x <d 间接观测值任给精度ε,要求 <a 面积x2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 面积为A ) 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度  , 要求 x − A   2 确定直接观测值精度  : x − x0   0 A x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义, 若vE>0,38>0,当0x0时的极限,记作 limf(x)=A或f(x)→>A(当x→>x。 x>x0 即1if(x)=A,VE>0,38>0,当x∈∪(xo,6 时,有f(x)-A|<6 几何解释 这表明 A+8 f(x) 极限存在 函数局部有界 (P36定理2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,   0,   0, 当 0  x − x0   时, 有 f (x) − A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: x0 + A+ A− A x0 x y y = f (x) 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1证明lmC=C(C为常数) x→>x 证 f(x)-A|=C-C|=0 故vE>0,对任意的δ>0,当0<x-x0<δ时 总有C-C|=0<6 因此 lim c=c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 证明 证: f (x) − A 故   0, 对任意的   0, 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.证明1im(2x-1)=1 证:|f(x)-A|=(2x-1)-1|=2x-1 >0,欲使(x)-A<6只要x-1|<2 取δ=5,则当0<x-1<6时,必有 J(x)-A=(2x-1)-1|<E 因此1im(2x-1)=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. 证明 证: = 2 x −1   0, 欲使 取 , 2   = 则当 0  x −1   时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.证明lim X 2 1x-1 证:f(x)-A 2=x+1-2=x 故∨E>0,取=E,当0<x-1<8时,必有 X 2<E 因此 x→1x-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例3. 证明 证: f (x) − A 故   0, 取  =  , 当 时 , 必有 −   − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4证明当x0>0时imx=√x x->x0 r-C 证:(x)-A=Nx-√x 0 x-o E>0,欲使f(x)-4|x0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 证明: 当 证: 0 0 1 x x x  −   0, 欲使 且 而 可用 因此 只要 0 0 lim x x x x = → 时 故取 min , , 0 0  = x  x 则当 0  x − x0   时, 保证 . 必有 o x x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2保号性定理 定理1.若limf(x)=A,且A>0,则存在∪(xo,o) r->x (A0.(P37定理3) f(x)0,3U(xo,),当 xe∪(x0,8)时,有A-E0时,取正数E≤A A+8 yzf(r) (0. xo-8xoro+d x (<0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 保号性定理 定理1 . 若 且 A > 0 , f (x)  0. ( f (x)  0) 证: 已知 即   0, 当 时, 有 当 A > 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 (< 0) (  −A) 则存在 ( A < 0 ) (P37定理3) ( 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论:若limf(x)=A≠0,则存在U(xo,δ),使当 A x∈∪(x0,)时,有|f(x)> 2·(P37推论) 分析: A-80:<f(x)< A+8 f(r) 3 A A A<0 f(x) δx0xo+δx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

A  0: A 0: 若取 , 2 A  = 则在对应的邻域 上 若 则存在 使当 时, 有 推论: 2 3 ( ) 2 A f x A   2 ( ) 2 3 A f x A −   − (P37 推论) 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2若在x0的某去心邻域内f(x)≥0,且 imf(x)=A,则A≥0 (f(x)≤0) (A≤0 证:用反证法当f(x)≥0时,假设A0,是否必有A>0? 不能!如i 0 x-)0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定理 2 . 若在 的某去心邻域内 f (x)  0 ( f (x)  0) , 且 则 A  0. (A  0) 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, A  0 . (同样可证 f (x)  0 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x)  0, 是否必有 A  0? 不能! 存在 如 假设 A < 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束