《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第三章（3.1）n维向量

第一幕只鸟量 维向量 三向量的运算 三应用举 向量组与矩阵 五向量空间

n维向量(化 ector) 1、引入 确定小鸟的飞行状态, 需要以下若干个参数: 小乌身体的质量m小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率t 小鸟身体的水平转角日 小鸟重心在空间的位置参数P(x,y,z) 还有 所以,为确定小鸟的飞行状态,会产生一组有序数组 =(m9y t xyz

确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟重心在空间的位置参数 小鸟身体的水平转角θ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组     = (m t x y z ) P x y z ( , , ) １、引入 一、ｎ维向量（Vector） 小鸟身体的质量ｍ 鸟翼的振动频率ｔ 还有…

2、定义n个数a1,a2…,an组成的有序数组 称为一个n维向量,其中a1称为第i个分量(坐标) n维向量写成一行,称为行矩阵,也就是行向量, 记作a,B,y Row vector 如:a=( n维向量写成一列,称为列矩阵,也就是列向量, 记作aBy C Column vector) 如

２、定义 ｎ个数 a a a 1 2 , , , n 组成的有序数组  = (a a a 1 2 n ) 称为一个ｎ维向量，其中 称为第 个分量（坐标）. i a i ( 1 2 ) T n  = a a a , , . T T T 记作    如： ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， 1 2 n a a a      =         如： 记作α,β,γ. ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， （Row Vector） （Column Vector）

注意 1、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 2、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算; 3、当没有明确说明时,都当作实的列向量. 3、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量(geaC化 ector) 元素是复数的向量称为复向量( Complex vector. 2、元素全为零的向量称为零向量( Null vector) 3、长度为1的向量称为单位向量( dentity vector) 4、维数相同的列(行)向量同型 5、对应分量相等的向量相等

注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３、当没有明确说明时，都当作实的列向量. 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、长度为１的向量称为单位向量（Identity Vector）. 4、维数相同的列（行）向量同型. 元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. ３、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）. 5、对应分量相等的向量相等

4、向量与矩阵的关系 T n 按行分块 2 22 2n m个n维行向量 按列分块 其第个行向量记作 i2 n n个m维列向量 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 其第个列向量记作a=:数、什么是向量的维 数,二者必须分清. ●

４、向量与矩阵的关系 1 2 T T T m A          =       其第ｊ个列向量记作 1 2 j j j mj a a a        =         A = (   1 2 n ) ｍ个ｎ维行向量. 11 12 1 按行分块 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         按列分块 ｎ个ｍ维列向量. 其第ｉ个行向量记作 ( 1 2 ) T i i i in  = a a a 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清

、向量的运算 1、加法a=(a1a2 ),B=( 规定a+B=(a1+b1a2+b2 +b 称为a与β的和向量 a-月=a+(-B)=(a1-b1a2 称为a与β的差向量 2、数乘a=(aa2…an),k∈R 规定ka=ak=(ka1ka2 k 称为数k与向量a的数量积 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算

    − = + − = − − − ( ) (a b a b a b 1 1 2 2 n n ) k k ka ka ka  = = ( 1 2 n ) 二、向量的运算   + = + + + (a b a b a b 1 1 2 2 n n ) 1、加法   = = (a a a b b b 1 2 1 2 n n ), , ( ) 规定 2、数乘 ( 1 2 ), n  =  a a a k R 规定 称为数ｋ与向量α的数量积. 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算. 称为α与β的和向量. 称为α与β的差向量

3、转置 2 r x2 4、乘法 对手h维行向量a′=(x1x2…x alal xn)为n阶方阵 a'a=(x, x, )2|为一阶方阵,即一个数

4、乘法 对于ｎ维行向量 为一阶方阵，即一个数. ( 1 2 ) T n  = x x x ( ) 1 2 1 2 T n n x x x x x x      =         为ｎ阶方阵； ( ) 1 2 1 2 T n n x x x x x x       =         3、转置 ( 1 2 ) T n  = x x x 1 2 n x x x      =        

5、运算规律设B均是n维向量λ,为实数) (1)a+B=B交换律) (2)(a+B)+y=a+(船律) (3)a+O=a (4)a+(-a)=O (5)a-B=a(城迹) (6 la=a (7)(1)a=(ua)=(a) (8)(+)a=a+O (9)(a+B)=a+B 剔Aa=0→1=0,0r.a=0,or.x=0.mnd,a=0

5、运算规律 （1）     + = + （交换律） （2） ( ) ( )       + + = + + （结合律） （3）   + = O （4）   + − = ( ) O （5）     − = + − （减法） ( ) (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （6） 1 = （7） ( ) ( ) ( )       = = （8） ( )      + = + （9）      ( ) + = +  = O  =  0 . . or O  = . . 0. . or and O   = =

、应用举例 例1设n维向量a 0 0 矩阵 2 A=E-aa,B=E+2aa,其中E为设n阶方阵, 证明:AB=E 证明:AB=(E-a′a)(E+2aa) =E-aa+2aa-2(aa)(a'a) =E+aa-2a(aa)a 又:a=4+4=2 故AB=E+ra-20(2/e =E+a a-a a E

三、应用举例 2 ( ) T T T = + − E      例１ 1 1 0 0 2 2    =     设ｎ维向量 ，矩阵 , 2 T T A E B E = − = +     ，其中Ｅ为设ｎ阶方阵， 证明： AB E = . 证明： ( )( 2 ) T T AB E E = − +     2 2( ) ( ) T T T T = − + −  E         T 又  = 1 1 1 4 4 2 + = 1 2 2 T T AB E       = + −     故 = E T T = + − E    

例2设a1=(110),a2=(01n),a3=(340) 31 求aF,3(aB)=(a1a2a3)2-1 解(a)=(3a1+2a2-a3a1-a2+a 0 3 a=3a1+2a2-a3=31|+21-14 012 (012) 0 3 B=ax1-a2+a3=11-11+14|=4 44

例２ ( ) 1 1 1 0 T 设  = ， ( ) 3 340 T 2 (0 1 1)  = T  = ， ( ) ( 1 2 3 ) 3 1 , , 2 1 . 1 1             = −       − 求 解 (        ) = + − − + (3 2 1 2 3 1 2 3 ) (4 4 1 . ) T = − 1 2 3     = + − 3 2 1 0 3 3 1 2 1 1 4 0 1 0             = + −             (0 1 2 . )       T =     = − + 1 2 3 0 1 2     =       1 0 3 1 1 1 1 1 4 0 1 0             = − +                   4 4 1     =       −