《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 矩阵及运算（2.3）逆矩阵

第亖阵 背景 三逆矩阵的概念与性质 三应用 小结

课前复习 加法线性运算 AB=BA 数乘 AM=AN→>M=N 矩阵与矩阵相乘 矩矩阵的幂 AB=0A=0.0r.B=0 罩转置矩阵对称矩阵反对称矩阵 方阵的行列式 伴随矩阵A4=AA=AE 共轭矩阵

课前复习 矩 阵 运 算          加法 数乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 矩阵的幂 线性运算 AB ? BA AM AN = ? M N= AB O= ? A O or B O = = . . 对称矩阵 反对称矩阵 AA = A A = AE.  

背景 1、数在数的运算中,当数a≠0时,有 a-1=a-a=1 则a1称为的刚数,(或称为的逆); 2、矩阵在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的 乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在 个矩阵A1有 AA=AA=E 则矩阵A称为的可逆矩阵,A称为的逆阵

乘法运算中的１， 1 1 aa a a 1, − − = = 在数的运算中，当数α≠０时， 1 1 a a − 则 = 称为 的倒数 a ， 个矩阵 ， 1 A − 在矩阵的运算中， 1 1 AA A A E, − − = = 一、背景 1、数 2、矩阵 则矩阵Ａ称为的可逆矩阵， （或称为 a 的逆）； 有 单位阵Ｅ相当于数的 那么，对于矩阵Ａ，如果存在一 有 1 A − 称为A的逆阵

3、线性变换 y1=11+a12x2+…+m1nXn J2=a21x1ta22x2+'.+a2nxn Vn=an1rtan2x2t'tanx 它的系数矩阵是一个n阶矩阵,若记 12 n CI J A= X n2 nn n (y 则上述线性变换可表示为Y=AX

3、线性变换 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x  = + + +   = + + +    = + + +  它的系数矩阵是一个ｎ阶矩阵，若记 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n n n nn n n a a a x y a a a x y A X Y a a a x y             = = =                         则上述线性变换可表示为 Y AX =

按 Cramer法则,4≠0则由上述线性变换可 12 解出x 21 22 nI 2 nn 在按第冽展开得 (4,y1+A2n2+…+Any) y1+y2+…+y

按Cramer法则，若 A  0 ， 则由上述线性变换可 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 n n i n n n nn a a y a a a y a x A a a y a 解出 = ( 1 1 2 2 ) 1 i i i ni n x A y A y A y A = + + + 在按第 i 列展开得 即 1 2 1 2 i i ni i n A A A x y y y A A A = + + +

若令b x152 可用y线性表示为 x1=b1V1+b2y2+…+bnyn b21yV1+2y2+…+b2ny xn=bn1y1+bn2yV2+…+b nn. n 这是从y,y2到ynx的线性变换,称为 原线性变换的逆变换.易知这个表达式是唯一的

则 x x x 1 2 , , , 可用 n 1 2 线性表示为 , , , n y y y 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x b y b y b y x b y b y b y x b y b y b y  = + + +   = + + +    = + + +  若令 , ji ij A b A = 易知这个表达式是唯一的. 1 2 , , , n x x x 1 2 , , , n 这是从 y y y 到 的线性变换，称为 原线性变换的逆变换

若把此逆变换的系数记作B,则此逆变换也可以记作 X= BY 由此,可得 Y=AX=A(BY=(AB)r 可见AB为恒等变换所对应的矩阵,故AB=E 又 X=BY=B(AX=(BA)X 因此BA=E 于是有AB=BA=E

若把此逆变换的系数记作 B ，则此逆变换也可以记作 X BY = Y AX A BY AB Y = = = ( ) ( ) AB 为恒等变换所对应的矩阵，故 AB E= X BY B AX BA X = = = ( ) ( ) 因此 BA E= 于是有 AB BA E = = 由此，可得 可见 又

逆矩阵的概念和性质 1、定义 对于阶矩阵A如果有一个阶矩阵,B 使得 AB= BA=E 则称矩阵是可逆的,并把矩阵配为的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 B 2 例A 121 22 ∵AB=BA=E, ∴B是的逆矩阵

例 1 1 1 1 2 2 , , 1 1 1 1 2 2 A B   −     = =           −   AB BA E = = , 使得 AB BA E = = , 的逆矩阵记作 1 A . − A 二、逆矩阵的概念和性质 1、定义 对于 n 阶矩阵 ，如果有一个 A 阶矩阵 n ， B 则称矩阵 A 是可逆的， B是A的逆矩阵. 并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵

说明若是可逆矩阵,则的逆矩阵是唯一的 证明着设厢是可逆矩阵,则有 AB= BA=E, AC=CA=E, 于是B=EB=C4B=C(AB)=CE=C 所以的逆矩阵是唯一的即B=C=A 21 例1设A 求的逆 b B 解设B= 9= BA=E C 2 a b(2a +c 2b+d I 0 则 10八c b

若设 B C A 和 是 可逆矩阵， 则有 AB BA E AC CA E = = = = , , B 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 1 B C A . − = = 说明 若 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是 A 唯一的. 证明 于是 例1 2 1 1 0 A   =     − 设 ,求 A 的逆. 解 a b B c d   =     设 则  = = AB BA E 2 1 1 0 a b c d             − B    =     0 −1 1 2 = EB = ( ) CA B = C AB ( )= CE = C 2 2 a c b d a b   + + =     − − 1 0 0 1   =    

定理1若矩阵逆,则|4≠0 证明若矩阵可逆,则即有A,使得AA1=E 两边求行列式,有44=E=1,4≠0 定理2矩阵可逆的充要条件是4且 A,其中A为矩阵A的伴随矩阵 证明因为矩阵与其伴随矩阵有A4=AA=|A4E 又因为|4≠=0,故有4AA 4*|A=E 所以,按逆矩阵的定义,即有4\A

证明   A 0. 1 AA E. − ，使得 = 1 A A E 1, − 两边求行列式，有  = = 定理1 若矩阵 A 可逆，则 A  0.1 A − 若矩阵 A 可逆，则即有 定理2 矩阵 A 可逆的充要条件是 A ，  0 且 1 1 A A , A −  = A A 其中  为矩阵 的伴随矩阵. 证明 因为矩阵与其伴随矩阵有 * * AA A A A E = = ，故有 1 1 A A A A E A A           = =     又因为 A  0 所以，按逆矩阵的定义，即有 1 1 A A . A −  =