《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.2）行列式的概念

第幕行式的概念 一二阶行列式 二三阶行列式 三阶行列 小结 五思考

课前复习 1、排列把个不同的元素按一定的顺序排成一行 (n≥2),称为这m个元素的一个排列 定义把1,2,组成的有序数组称为一个阶排列 通常用体小:P 2、排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序,个不同 的自然数,规定由小到大的排列为标准排列 定义在一个排列n1…P Pn中,若数 P>P,则称这两个数构成一个逆序一个排列的 逆序总数称为这个排列的逆序数记作t(D1P2…Pn)

，称为这 个元素的一个排列. 定义 把 组成的有序数组称为一个 阶排列. 通常用 表示. 1、排列 把 个不同的元素按一定的顺序排成一行 课前复习 我们规定各元素之间有一个标准次序, 个不同 的自然数，规定由小到大的排列为标准排列. 2、排列的逆序数 p p 1 pi pj n 中，若数 i j p  p 在一个排列 ，则称这两个数构成一个逆序. 一个排列的 逆序总数称为这个排列的逆序数.记作 1 2 ( ) n t p p p 1 2 n p p p 1,2, ,n n n (n  2) n n 定义

3、排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列 4、对换 定义在排列中,将任意两个元素对调,其余元素 不动,这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换 定理一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性 定理在全部n(n≥2)阶排列中奇偶排列各占 半即各有公

逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3、排列的奇偶性 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 4、对换 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性 定理 在全部 阶排列中,奇偶排列各占一 半,即各有 个. 定理 n n ( 2)  ! 2 n

二阶行列式 1、引入 用消元法解二元线性方程组 an1x1+a12x2=b,() n,x,+a、x,=b (1)x 22 1421x1+a12l22x2 225 (2)xan2: x1+a1 12021~1 1212212 12 两式相减消去xy得 1122 12021 E1 122-a 1202 类似的,消去x得 (a1a2-a12a2)x2=a1b2-ba2 219

用消元法解二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . a x a x b a x a x b  + =   + = (1) (2) (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 ，得 2 x 一、二阶行列式 1、引入 ; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似的，消去 ，得 1 x , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21

当a1a2-a12a21≠0时,方程组的解为 22 12 a1b2-b,a2 (3) 1122 1221 1122-a122 由方程组的四个系数确定 2、定义 Def由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表 a142所确定的表达式a12-a12 2122 称为二阶行列式,记为 12 21

方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = . （3） 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 由方程组的四个系数确定. 11 22 12 21 当 a a a a −  0 时， 2、定义 Def 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 11 12 21 22 a a a a 称列）的数表 所确定的表达式 11 22 12 21 a a a a − 11 12 21 22 a a a a 称为二阶行列式，记为

3、计算 1)对角线法则 行标 主对角线41 1122 12021 副对角线 21 22 列标 对于二元线性方程组 122 a2|x1+a2x2=b2 若记 D 12 系数行列式 22

, 21 22 11 12 a a a a D = 11 a 12 a a21 a22 主对角线 副对角线 = a11a22 若记 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . a x a x b a x a x b  + =   + = 对于二元线性方程组 系数行列式 . − a12a21 3、计算 1）对角线法则 行标 列标

au+ au2x2=bu, 1x1+a 122 a21x+a22-x2=b 21x1+a21x2= D /1a, 12 D 12 22 记D 12 记D2= b1 21 则二元线性方程组的解为 12 系数行列式 D. 6 a 22 21 b xi D D 12 系数行列式 21 21 22

   + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 11 12 21 22 , a a D a a = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , . a x a x b a x a x b  + =   + = 11 12 21 22 , a a D a a = . 21 2 11 1 2 a b a b 记 D = 1 12 1 2 22 , b a D b a 记 = 则二元线性方程组的解为 1 12 1 2 22 1 11 12 21 22 , b a D b a x D a a a a = = 11 1 2 21 2 2 11 12 21 22 . a b D a b x D a a a a = = 系数行列式 系数行列式

例1今有牛五羊二,直金十两,牛二羊五,直金八两, 问牛羊各直几金? 5x1+2x,=10, 解:牛羊分别直x1x2金,记 2x,+5 8 52 D =25-4=21≠0, 25 102 510 8s=34,D, =20. 28 D,34 20 D21 D21

5 2 2 5 D = 今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两， 问牛羊各直几金？ 例1 1 2 1 2 5 2 10, 2 5 8. x x x x  + =   + = 5 2 2 5 D = = − 25 4 =  21 0, D1 = 34, = 20, D D x 1  1 = 34 , 21 = D D x 2 2 = 20 . 21 = 解：牛羊分别直 1 2 x x, 金，记 10 8 5 2 2 5 D2 = 10 8

阶行列式 1、定义 由九个数排成三行三列(横排称行、竖排称列) 13 构成数表 21 2 23 (5)确定一个表达式 32 1nl2a3+a12m2331+a132132 (6) 112332 122133 1342231 (6)式称为数表(5)所确定称为三阶行列式 12 13 记为 2 22 23 31

1、定义 二、三阶行列式 （6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式. 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 记为 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 构成数表 （5） 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a + + （6） 确定一个表达式， 由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列） 11 23 32 12 21 33 13 22 31 − − − a a a a a a a a a

2、计算 1对角线法则 =a123+a122331+a13421432 3231-122133-142332 1 12 2)沙路法D=a21 22 32 +十 D 233+a1223431+a132132 1123u32 2u2133 1342231° △ 以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 31 32 21 22 11 12 a a a a a a − − − + + + . − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 2)沙路法 D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 2、计算 1)对角线法则 = a11a22a33 . − a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31− a12a21a33 以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式