《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章（5.4）对称矩阵的相似矩阵

第的榘阵

、对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说明 均指实对称矩阵 定理对称矩阵的特征值为实数 定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交 定理若n阶对称阵A的任t1重特征值对应的线性 无关的特征向量恰有t个 定理若A为n阶对称阵,则必有正交矩阵P,使得 PAP=A

定理 对称矩阵的特征值为实数. 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵． 一、对称矩阵的性质 定理 对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交. 定理 若ｎ阶对称阵Ａ的任 重特征值 对应的线性 无关的特征向量恰有 个． i t i i t 定理 若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得 1 P AP − = 

二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 根据上述结论,利用正交短阵将对称矩阵化 为对角矩阵,其具体步骤为: 1.求4的特征值; 2.由(4-4E)x=0,求出A的特征向量; 3.将特征向量正交化 4.将特征向量单位化 例求正交阵,使得P1AP=A 21 400 A=020 B=031 413 013

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值; 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − 4 0 0 0 3 1 0 1 3 B     =       例 求正交阵，使得 1 P AP − = 