《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章（5.2）方阵的特征值与特征向量

第三幕亥阵的特惩值与特惩向量 特征值与特征向量 三特征值和特征向量的性质 三应用举 小结

课前复习 、内积[a,月=aB=ab1+a2b2+…+anbn 2、长度|l=a,a]=a2+a2+…an2 3、夹角cos6 [a, B 0= arccos 0≤6≤兀 4.正交[a,]=0 5、施密特( Schmidt)正交化法 6、正交矩阵和正交变换 AA=E(即x=4),y=P其中P为正交矩阵 内积不变 正交变换的优良特性:长度不变 夹角不变

课前复习 １、内积   1 1 2 2 . T n n     , = = + + + a b a b a b ２、长度   2 2 2 1 2 , n    = = + + a a a ３、夹角  ,  cos ,      =  ,  arccos ,0 .        =   ４、正交  , 0  = ５、施密特（Schmidt）正交化法 ６、正交矩阵和正交变换 ( ) 1 , T T A A E A A − = = 即 y Px = 其中Ｐ为正交矩阵． 正交变换的优良特性： 内积不变 夹角不变 长度不变

特征值与特征向量的概念 定义A为n阶方阵,/为数,为n维非零向量 若 A=15 则为A的特征值,称为A的特征向量 注⑨特征向量ξ≠0,特征值问题只针对与方阵; ②A5并不一定唯一 ③n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组 (死E-4)x=0有非零解的雁,即满足E-4|=0 的都是方阵A的特征值 定义称以未知数的一元n次方程E-A=0 为A的特征方程

一、特征值与特征向量的概念 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，  为ｎ维非零向量， 若 A  = 则λ称为Ａ的特征值，  称为Ａ的特征向量． （１） 注 ②  , 并不一定唯一； ③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 ① 特征向量   0 ，特征值问题只针对与方阵； (E A x − = ) 0 有非零解的λ值，即满足 的λ都是方阵Ａ的特征值． E A − = 0 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A − = 0 为Ａ的特征方程．

定义称以变量的一元n次多项式∫(4)=E 为A的特征多项式 定理设n阶方阵A=(q)的特征值为A,4,…, 则(1)A2…n=|4i; (2)1+12+…+n=a1+a2+…+an; 证明①当气,气2,…,气,是A的特征值时,A的特征多项 式可分解为∫(x)=E-A=(元-4)(-2)…(-2) ”-(+2+…+,)n1+…+(-1)2 令元=0,得|-4=(-1)142… 即A2…=|4

定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A (  ) = − 为Ａ的特征多项式． 1 2 11 22 (2) ; n nn    + + + = + + + a a a 1 2 (1) ;    n = A 定理 设ｎ阶方阵 A a = ( ij) 的特征值为 1 2 , , ,    n 则 证明① 当    1 2 , , , n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 f E A (  ) = − = − − − (      1 2 )( ) ( n ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n n n         n n − = − + + + + + − 令  = 0, 得 −A ( ) 1 2 1 n = −    n 即 1 2 .    n = A

证明②因为行列式 12 E-A 2 它的展开式中,主对角线上元素的乘积 (-an)(4-a2)(2-am) 是其中的一项,由行列式的定义,展开式中的其它项至 多含n-2个主对角线上的元素,因此,特征多项式中 含与的项只能在主对角线上元素的乘积项中 故有E-A=-(a1+a2+…+amn) · 比较④,有41+2+…+=an+a2+…+anm

证明② 因为行列式 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 (   − − − a a a 11 22 )( ) ( nn ) E A− 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素， 含   n n 与 −1 的项只能在主对角线上元素的乘积项中． ( ) 1 11 22 n n    E A a a ann − 故有 − = − + + + + + 比较①，有 1 2 11 22 . n nn    + + + = + + + a a a 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a    − − − − − − = − − − 因此，特征多项式中

定义方阵A的主对角线上的元素之和称为方阵A的迹 记为m(4)=∑an=∑4 二、特征值和特征向量的性质 推论1n阶方阵A可逆分A的n个特征值全不为零 若数为可逆阵的A的特征值, 推论2则元为A的特征值 推论3则k为k的特征值 推论4则A4为A的特征值 推论5则Am为A的特征值 特别单位阵E的一个特征值为1

定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 ( ) . ii i tr A a = =   二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 推论２ 则  −1 为 的特征值． 1 A − 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 推论４ 则 A  −1 为 A  的特征值． 推论５ 则  m 为 A m 的特征值． 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１．

、应用举例 1、若λ=2为可逆阵A的特征值,则,A 3 的一个特征值为() 2、证n阶方阵A的满足A2=A,则A的特征值为 0或1 3、三阶方阵A的三个特征值为1、2、0,则 2E+3A2|=() 4、求下列方阵的特征值与特征向量 211 31-1 A=020B=-75-1 413(662丿

三、应用举例 １、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则 1 1 2 3 A −       的一个特征值为（ ） ２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A A 2 = ，则Ａ的特征值为 ０或１． ３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − （ ） 3 1 1 7 5 1 6 6 2 B   − −   = − −       − − 2 2 3 E A + = ４、求下列方阵的特征值与特征向量

四、特征向量的性质 定理互异特征值对应的特征向量线性无关。 定理互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并 在一块,所得的向量组仍然线性无关。 定理若n阶矩阵A的任t重特征值1对应的线性无 关的特征向量的个数不超过t

四、特征向量的性质 定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。 定理 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并 在一块，所得的向量组仍然线性无关。 定理 若ｎ阶矩阵Ａ的任 t i 重特征值 i 对应的线性无 i 关的特征向量的个数不超过 t ．