《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章（5.3）矩阵相似对角化

第三降相对角化 一定义 二性质 三相对角化 应用举倒

定义 定义设A、B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P, 使得PAP=B,则称B是A的相似矩阵,或者说矩阵 A与B相似 记作:A∽B 对A进行运算PAP,称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 性质 (1)反身性:A∽A; (2)对称性:A∽B,则B∽A; (3)传递性:A∽B,B∽C,则A∽C;

一、定义 定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 1 P AP B, − = 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似． 对Ａ进行运算 P AP −1 , 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵． 记作： Ａ∽Ｂ． 二、性质 （1） 反身性： （2） 对称性： （3） 传递性： Ａ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；

(4)A∽?B,则R(4)=R(B) (5)A∽B,则|4=B (6)A∽B,且A可逆,则AH∽B-1 定理若n阶矩阵A与B相似,则A与B有相同的特征 多项式,从而A与B有相同的特征值 推论若n阶矩阵A与对角矩阵 ∧=dig(1,2,…,n)= 12 相似,则A1,2,…,n就是A的n个特征值

（4）Ａ∽Ｂ，则 R A R B ( ) = ( ) （5）Ａ∽Ｂ，则 A B = （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 1 1 A B − − ∽ 定理 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值． 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 1 2 ( , , , ) n n diag            = =         相似， 1 2 , , , 则    n 就是Ａ的ｎ个特征值．

(7)A∽B,则A"CBm (8)A∽B,则A的多项式q(4)∽g(B) 特别若有可逆矩阵P使PAP=A,则A=PAP, P(A)=PP(A)P 而对对角阵A有 qp(1) qp(12) A ,g(A) 9(x 这样可以方便地计算A的多项式φ(4)

1 , k K A P P− =  1   ( ) ( ) . A P P− =  而对对角阵  有 若有可逆矩阵Ｐ使 则 （8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 特别   ( A B ) ∽ ( ) 1 P AP , − =  1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) , ( ) k k k k n n                    =  =                 这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( ). A （7）Ａ∽Ｂ，则 m m A B ∽

、相似对角化 对n阶方阵A,若能寻得相似变换矩阵P使 PAP=A 称之为把方阵A对角化 定理的推论说明,如果n阶矩阵A与对角矩阵∧相 似,则∧的主对角线上的元素就是A的全部特征值 那么,使得PAP=A的矩阵P又是怎样构成的呢? 设存在P可逆,使得P-1AP=A→AP=PA 若P=( 有4( 1P2 1,1299 P (λ1,2n2,…,2pn)

若能寻得相似变换矩阵Ｐ使 1 P AP − =  对ｎ阶方阵Ａ， 称之为把方阵Ａ对角化． 三、相似对角化 定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相 似， 那么，使得 1 P AP − =  的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？ 则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 设存在Ｐ可逆， 1 P AP − 使得 =  若 P p p p = ( 1 2 , , , , n )  =  AP P 有 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p        =         = (   1 1 2 2 p p p , , , n n )

于是有1=p(i=1,2,…,n),因为P可逆,故 P,≠0i=1,2…,n),于是P1,P2,…,P是A的n个线性无 关的特征向量。 反之,若A有n个线性无关的特征向量P1,P2,…,Pn 即A2=4(i=1,2,…,m),设P=(1,P2…,P,则P 可逆,且AP=(1,12,…,4pn)=(41n1,2n2 12 1,12,9 P =PA 所以P1AP=A,即A与对角矩阵∧相似

于是有 ( 1,2, , ), Ap p i n i i i = =  因为Ｐ可逆， 故 0( 1,2 , ), i p i n  = 于是 1 2 , , , n p p p 是Ａ的ｎ个线性无 关的特征向量。 反之， 即 ( 1,2, , ), Ap p i n i i i = =  设 1 2 ( , , , ), P p p p = n 可逆，且 则Ｐ 1 2 , , , n 若Ａ有ｎ个线性无关的特征向量 p p p 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) AP Ap Ap Ap p p p = = n n n    1 2 1 2 ( , , , ) , n n p p p P        = =          所以 1 P AP , − =  即Ａ与对角矩阵Λ相似．

定理n阶矩阵A能与对角矩阵∧相似 分A有n阶线性无关的特征向量 推论如果n阶矩阵A有n个不同的特征值,则矩阵A 可相似对角化 推论着n阶矩阵A可相似对角化仲A的任t重特征值 对应t1个线性无关的特征向量 注意(1)P中的列向量n1P2,…,Pn的排列顺序要与 λ,气2,…,凡n的顺序一致 (2)因P是(A-E)x=啪的基础解系中的解向量, 故P的取法不是唯一的,因此P也是不唯一的 (3)又4-E=0的根只有n个(重根按重数计算) 所以如果不计λ的排列顺序,则A是唯一的

定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 注意 Ｐ中的列向量 1 2 , , , n p p p 的排列顺序要与 1 2 , , ,    n 的顺序一致． （1） 可相似对角化． （2）因 pi 是 ( ) 0 A E x − =  的基础解系中的解向量， i 故 p 的取法不是唯一的，因此Ｐ也是不唯一的． （3） 所以如果不计 的排列顺序， 又 A E − =  0 的根只有ｎ个（重根按重数计算） i 则  是唯一的． 推论 若ｎ阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 重特征值 对应 个线性无关的特征向量． i t i i t