《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.4）行列式按行（列）展开

第到式行(到展开 一余子式与代数余子式 行列式按行《列)展开法则 三应用 Laplace定理 五小结 六考

∠课前复习 性质1行列式与它的转置行列式相等即D=D 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 推论如果行列式有两行(列)的对应元素完全相 同,则此行列式为零 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k,等于用数乘此行列式 推论2行列式中如果有两行(列)元素成比例,则 些行列式为零 性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之 和则这个行列式等于两个行列式之和 性质5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数 然后加到另一列行对应的元素上去,行列式不变

课前复习 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 . T D D= 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相 同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一数 k ，等于用数 乘此行列式 k . 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之 和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

余子式与代数余子式 在阶行列式中,把元素所存的第行和第列 划去后,留下来的阶行列式叫做元素的金矛式, 记作M2 4=(-1)M叫做元素c0代数余子式 例如4 1214 23 31 32 34 D 2T"922…2324 41 42 44 31 32 34 4…c 43… 23=(-1)243M2 23 M 42 23· 13 21 23 24 21 22 239 12 31 33 349 32 33 41 43 44 1 M M A4=(-1)+M4=M4 12 12

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列 划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式， n aij i j n −1 aij ( 1) i ij ij j A M + = − ， 叫做元素 a 的 ij 代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23 一、余子式与代数余子式 . 记作 Mij , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M +

注行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个 代数余子式 引理一个阶行列式,如果其中第行所有元素除 4n外都为零,那末这行列式等于它的代数余子式 A的乘积,即D=an4 证当位于首位时即D 21 22 n 即有D=a1M1 n2 nn 又A1=(-1)+M1=M1, 从而D=a14 11 命题得证

注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个 代数余子式. 即 D a A = ij ij ． aij 外都为零，那末这行列式等于 a 与它的代数余子式 ij 引理 Aij 的乘积， 一个 n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 i 证 当 aij 位于首位时,即 21 22 2 1 2 11 0 0 n n n nn a a a a a a a D = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 命题得证

下证一般情形,此时D=0 0 n nn 把第行依次与第i,第行,2.第1行对调 0 得D=(-)1 n nn

11 1 1 1 0 0 j n n nj nn ij a a a a D a a a = 得 ( ) 1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 i i i ij j i n n nj nn D a a a a a a a − = − − − − 把 D 的第 行依次与第 i i 行，第 − 1 行， i − 2…第1行对调 下证一般情形, 此时

把第列依次与第洌列1,第列,2.第1列对调 得D=(-1)(-1) n,j-1 nn (-ny1 nn

得 ( ) ( ) 1 1 1, 1, 1 1, , 1 0 0 1 1 i j i j i ij j i n nj n j nn D a a a a a a a − − − − − − − = −  − 把 D 的第 列依次与第 j j 列，第 − 1 列， j − 2…第1列对调 ( ) 1, 1, 1 1, , 1 0 0 1 i j i j i ij j i n nj n j nn a a a a a a a + − − − − − = −

注意到 元素在行列式n-1 n1 中的余子式仍然是4在行列式 D=0 0中的余子式M l nn

11 1 1 1 0 0 j n n nj nn ij a a a a D a a a = 中的余子式 . Mij 1, 1, 1 1, , 1 0 0 i j i j i n nj n j nn ij a a a a a a a − − − − − 注意到： 元素 aij 在行列式 中的余子式仍然是 aij 在行列式

0 0 于是有 i-1 1 nn 故D=(-1) ai-1mn=(1*a;M n 即D=a 所以命题得证

( ) 1, 1, 1 1, , 1 0 0 1 i j i j i j i n nj n ij j nn a D a a a a a a + − − − − − = − ( 1) . ij ij i j a M + = − 于是有 1, 1, 1 1, , 1 0 0 i j i j i n nj n j nn ij a a a a a a a − − − − − , = aijMij 故 . D a Aij ij 即 = 所以命题得证

行列式按行(列)展开法则 定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和,即 D=a1A1+a12412+…+ D=a14,+a2y142;+…+an4(j=1,2,…,n 证利用行列式的性质四-拆分原理有 lI 12 n D=an+0+…+00+a12+…+0 0+…+0+aim n

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即 D = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 + + ainAin (i = 1,2,  ,n) 证 11 12 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n i i in n n nn a a a D a a a a a a = + + + + + + + + + 二、行列式按行（列）展开法则 D a A a A a A = + + + 1 1 2 2 j j j j nj nj ( j n = 1,2, , ) 定理 利用行列式的性质四--拆分原理有

12 11 12 12 0+0 0+…+00 nI n2 n =111+a12A12+…+i2in ( 命题得证 推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零,即 an1A1+a12412+…+anAn=0,i≠j A,;++a-4..=0 12i412 L≠

n n nn i n a a a a a a a            1 2 1 11 12 1 = 0 0 n n nn i n a a a a a a a            1 2 2 11 12 1 + 0 0 n n nn in n a a a a a a a             1 2 11 12 1 + + 0 0 = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 + + ainAin (i = 1,2,  ,n) 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即 a A a A a A , i j. i1 j1 + i 2 j 2 ++ in jn = 0  0, ( ). 1 1 2 2 a A a A a A i j i j + i j + + ni nj =  推论 命题得证