同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第一章 函数与极限（1.2）数列的极限

第一章 第二予 飘列的极隈 数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、极限存在准则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限

数列极限的定义 引例.设有半径为r的圆,用其内接正n边形的面积 An逼近圆面积S 如图所示,可知 An 九rSm-coS (n=3,4,5,…) 当n无限增大时,An无限逼近S(如徽割圆术), 数学语言描述:∨E>0,彐正整数N,当n>N时,总有 <E HIGH EDUCATION PRESS 刘徽目录上页下页返回结束

数学语言描述: r 一 、数列极限的定义 引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S .  如图所示 , 可知 n 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,   0, 正整数N, 当 n > N 时, A − S   n 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束

定义:自变量取正整数的函数称为数列记作xn=f(n) 或{xn},x称为通项(一般项) 若数列{xn}及常数a有下列关系 y6>0,3正数N当n>N时总有x1-a∞) n→)0 此时也称数列收敛,否则称数列发散 a-8N) 几何解释 即xn∈∪(a,E) a-a knm a xN+2 a+E (n>N) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a − a + ( ) a −  x  a + n (n  N ) 即 x (a,  ) n  (n  N ) x a n n = → lim 或 x → a (n → ) n N+1 x N+2 x 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如, 123 234n+1 >1(n→>o) n+ 143n+(-1 收 234 敛 n+(-1) →>1(n-→>∞) 2.4.8 xn=21>(n→>∞) 发 7+1 散 xn=(-1)+1趋势不定 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例如,  , 1 , , 4 3 , 3 2 , 2 1 n + n +1 = n n xn →1 (n →) n n x n n 1 ( 1) − + − = →1 (n →) 2 , 4 , 8 ,  , 2 n ,  n n x = 2 → (n →) 1 ( 1) + = − n n x 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.已知 n+(-1)证明数列{xn}的极限为 n+(-1) 让: 1|= VE>0,欲使xn-1|1 1 因此,取N=[],则当n>N时就有 n+(-1) -1<E 故 lim xn n(-1) n→0 n→0 12 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: xn −1 = 1 ( 1) − + − n n n   0 , 欲使 即 只要  1 n  因此 , 取 ], 1 [  N = 则当 n  N 时, 就有 −   + − 1 ( 1) n n n 故 1 ( 1) lim lim = + − = → → n n x n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2已知n=(-1)y 正明1imxn=0 n+ 讧: (-1) 0 0 n+ (n+1)2下、1 n+ ∨E∈(0,1),欲使xn-0N时,就有xn-0(n+/)2 0也可由x1-0 (n+1) 说明:N与6有关但不唯一取N=[-1 不一定取最小的N HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 +  n  (0,1), 欲使 只要 , 1 1   n + 即 n  取 1], 1 = [ −  N 则当 n  N 时, 就有 − 0   , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 故也可取 [ ] 1  N = 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 −  N 与  有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取  1  1 = −  N 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3设q1+ n& Inq 因此,取N=1+ In a ,则当n>N时,就有 In q 0<E 故 lim g 0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例3. 设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取   +   = q N ln ln 1  , 则当 n > N 时, 就有 −   − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n   + 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、收敛数列的性质 1.收敛数列的极限唯一 atb b 证:用反证法假设imxn=a及 lim x=b,且a00 取=,因1imxn2=a,故存在M1,使当n>N1时 n-aN2时,有 n→>0 xn-bN时,xn满足的不等式 矛盾.故假设不真!因此收敛数列的极限必唯一 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 − 2 3a b 2 2 b a n b a x a − − −  −  二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 a  b. 取 因 lim x a, n n = → 故存在 N1 , 从而 2 a b n x +  同理, 因 lim x b, n n = → 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 2 a b n x +  1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n > N1 时, 假设 2 2 b a n b a x b − − −  −  n a b  x + 2 2 3b−a  从而 2 a b n x +  矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 取N = maxN1 , N2 , 则当 n > N 时, 故假设不真 ! n x 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.证明数列xn=(-1)(m=1,2,…)是发散的 证:用反证法 假设数列{xn}收敛,则有唯一极限a存在 取E=,则存在N,使当n>N时,有 C <x<a+ 1+ 但因x,交替取值1与-1,而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间(a-,a+)内,因此该数列发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 xn  收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 , 2 1  = 则存在 N , 2 1 2 1 a −  xn  a + 但因 n x 交替取值 1 与－1 , ( , ) 2 1 2 1 a − a + 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2收敛数列一定有界 证:设in n a,取E=1则彐N.当n>N时,有 n→>( xn-a<1,从而有 Ixn=(rn -a)+a* -a+ak1+ 取M=mx{x,|x2…x,1+|a 则有x≤M(n=1,2,…) 由此证明收敛数列必有界 说明:此性质反过来不一定成立.例如 数列{(-1)虽有界但不收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取  =1, 则 N , 当 n  N 时, 从而有  xn − a + a 1+ a 取 M = max x1 , x2 ,  , xN , 1+ a  则有 x  M ( n =1, 2 , ). n 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,  1 ( 1) + − n 虽有界但不收敛 . x − a 1, n 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束