同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第七章 空间解析几何与向量代数（7.2）数量积、向量积、混合积

第二节 第七章 数量积向量积“混合积 两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章

两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下,沿与力夹角为0 的直线移动,位移为s,则力F所做的功为 W=FS cos 0 F 1.定义 设向量d,b的夹角为θ,称 M 记作 ab cos e W=F·s 为d与b的数量积(点积) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当d≠0时,b在a上的投影为 b cos e 记作 Pri: b 故ab=d|Prjb 同理,当b≠0时, b=l b pri a 2.性质 a≠0.b≠0 (1) a·=a 则a·b=0 (2)a,b为两个非零向量,则有 a·b=0—d⊥b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 b 在a上的投影为   记作 故 同理,当 0 时,   b  2. 性质 为两个非零向量, 则有 b Prja  b a b = a Prja  b (1) a  a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a  0, b  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3运算律 (1)交换律ab=bd b (2)结合律(,为实数) (2a)·b=a·(b)=A(a·b) d (d(b)=(a(4b) =1(db) Pric a pric b (3)分配律(d+b)c=dd+b· rj(a+b) 事实上,当c=0时,显然成立;当C≠0时 (a+b)c=c Prj(a+b)=c( Prj a+prj b) -cPrj a+C Prjc b=a. c+b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) =  ( a ( b)) =   (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c  0时 c (a + b) b a a Prj c  b c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj = c Prj c  a + c Prj c  b = a  c + b c Prj (a b) c  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明三角形余弦定理 2 a+6-2abcos e 证:如图.设 b cB=a. ca=b. Ab=c a-b c2=(a-b).(a-b)=a'a+bb-2a.b a+b-2 a b cos e a=a.b=6.c at6-2ab cos e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

A B C  a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a −b)(a −b)= a  a + bb − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.数量积的坐标表示 设a=axi+a1j+a2k,b=bx1+b,j+b2k,则 b=(ax+ayj+a,k).(bx i+by j+b2 k) i=j·j=kk=1,元=广k=k7=0 b=a,b +a,b, +ab 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时由于db=d‖bcos6,得 a. b a、b.+ab,+ab cose b a2+a2,+a2、b2+b2+b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 ax + ay + az 2 2 2 bx + by + bz 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z (a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i  j = j  k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB A 解:MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) B 则cos∠AMB=MA·MB M MA MB 1+0+01 2 故 ∠AMB 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

MA = ( ), MB = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A(2,2,1),B(2,1,2),  AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AMB = 1+0 +0 2 2 AMB = 求 MA  MB MA MB 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设均匀流速为ν的流体流过一个面积为A的平 面域,且讠与该平面域的单位垂直向量n的夹角为O 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度 为p) 解:P= PA v cos 8 为单位向量 PAv. n 单位时间内流过的体积 A v cos 8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

为  ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量  A 解: 单位时间内流过的体积 P = =  A 且 的夹角为 v v v  n 为单位向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两向量的向量积 引例设O为杠杆L的支点有一个与杠杆夹角为O 的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M=OOF =OP F sin@ OP→F→M符合右手规则 , L M⊥OP F M⊥F p 0Q=OP sin 0 M HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L   Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP  F  M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 设a,b的夹角为,定义 向量c∫方向:c⊥acb且符合右手规则 模:C|=d‖b|sin 称c为向量a与b的向量积,记作 b C=a×b(又积 引例中的力矩M=OPxF d×b 思考:右图三角形面积 a b 6 b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c ⊥ a, c ⊥ b c = a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b的 c = ab = ab 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积  a b S＝ 机动 目录 上页 下页 返回 结束