同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第三章 微分中值定理与导数的应用习题课

习题课 第三章 中值定理及导数的应用 、微分中值定理及其应用 二、导数应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 导数应用 习题课 一、 微分中值定理及其应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用 第三章

微分中值定理及其应用 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f(a)=f(b) 拉格朗日中值定理 f"()=0 f(5)f(b)-f(a) F(x)=x b-a f(a)=f(b) F(x=x n=0 柯西中值定理 泰勒中值定理 f(b)-f(a)_f"()f(x)=f(x0)+f(x0)x-x0) F(b)-Fa F(s +…+nfm(x0)(x-x0) (n+1) n+1 (n+1)! X HIGH EDUCATION PRESS 90@ 机动目录上页下页返回结

拉格朗日中值定理 f (a) = f (b) 一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f () = 0 x y o a b y = f (x)  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   F f F b F a f b f a   = − − b a f b f a f − −  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a f b F x x = = 1 0 ( 1) ( 1)! 1 ( )( ) + + + + − n n n f  x x 柯西中值定理 F(x) = x  x y o a b y = f (x) 泰勒中值定理 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x = f x + f  x x − x n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) ! 1 ++ − n = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.微分中值定理的主要应用 (1)研究函数或导数的性态 (2)证明恒等式或不等式 (3)证明有关中值问题的结论 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.有关中值问题的解题方法 利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法 (1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理 可用原函数法找辅助函数 (2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用 柯西中值定理 (3)若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用 中值定理 (4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式 有时也可考虑对导数用中值定理 (5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, 可考虑用 柯西中值定理 . 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用中值定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.设函数f(x)在(a,b)内可导且(x)≤M 证明f(x)在(a,b)内有界 证:取点x0∈(a,b)再取异于x的点x∈(a,b),对 f(x)在以x0,x为端点的区间上用拉氏中值定理,得 f(x)-f(x0)=f()(x-x0)(界于x与x之间 f(x)=f(x0)+f()(x-x0) ≤f(x)+f(2)x-xo f(x)+M(b-a)=K(定数) 可见对任意x∈(a,b),f(x)≤K,即得所证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 设函数 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 ( , ), x0  a b 再取异于 0 x 的点 x(a,b), 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x − f x = f   x − x ( ) ( ) ( )( ) 0 0  f x = f x + f   x − x 0 0  f (x ) + f ( ) x − x ( ) ( )  f x0 + M b − a = K (定数) 可见对任意 x(a,b), f (x)  K , 即得所证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.设f(x)在[0,1上连续,在(O,1)内可导且 f(1)=0,证明至少存在一点ξ∈(0,1),使 f'(2) 2f(5 证:问题转化为证5f()+2f(2)=0 设辅助函数(x)=x2f(x) 显然(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至 少存在一点∈(0,1),使 q(5)=2f()+f(5)=0 即有 f'()=-2f(5 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. 设 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证  f () + 2 f () = 0. 设辅助函数 ( ) ( ) 2  x = x f x 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 ( ) 2 ( ) ( ) 0 2   =  f  + f   = 即有 少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导,且 0<a<b,试证存在5,∈(a,b),使∫()= atb f'(7) 77 证:欲证f"(5)=f(),即要证/(50b-a)f() a+b 2n 77 因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有 f(b)-f(a)=f()(b-a),5∈(a,b) 又因f(x)及x2在[a,b上满足柯西定理条件,故有 f(b)-f(a fn 7∈(a,b) 2 ② b a+b 将①代入②,化简得∫(5)=f(m),5,∈(a,b) 学 HIGH EDUCATION PRESS 77 机动目录上页下页返回结束

例3. 且 试证存在 证: 欲证 , 2 ( ) ( )   f  a b f  = +  因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 f (b) − f (a) = f ()(b − a),  (a, b) ( ) [ , ] , 又因f x 及x 2 在 a b 上满足柯西定理条件 将①代入② , 化简得 故有 ① ② ( ), 2 ( )    f a b f  +  =  ,(a,b) 即要证 . 2 ( )( ) ( ) 2 2   f  b a f b a  = −  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设实数ao,a1,…,an满足下述等式 a+++ 0 n+ 证明方程a+a1x+…+anxn=0在(0,1)内至少有 个实根 证:令F(x)=a0+a1x+…+anx,则可设 F(x)=a0x+21x2+…+nx+1 2 n+1 显然,F(x)在[0,1上连续,在(0,1)内可导,且F(0) F(1)=0,由罗尔定理知存在一点∈(0,1)使F(5)=0, 即a+ax+…+anx”=0在O,D内至少有一个实根 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 上页下页返回结味

例4. 设实数 满足下述等式 0 2 1 1 0 = + + + + n a a a  n 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 ( ) , 0 1 n n F x = a + a x ++ a x 则可设 1 2 1 0 2 1 ( ) + + = + + + n n x n a x a F x a x  且 F(0) = 由罗尔定理知存在一点  (0,1), 使 即 0 0 1 . 0 + 1 + + = 在（ ，）内至少有一个实根  n n a a x  a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(1) = 0

例5.设函数f(x)在0,3]上连续,在(0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使 f()=0.(03考研) 证:因f(x)在[0,3上连续,所以在[0,2上连续,且在 [0,2上有最大值M与最小值m,故 m≤f(0),f(1),f(2)≤M=mxJ(0)+f(1)+f(2)≤M 由介值定理,至少存在一点c∈[0,2],使 f(c)= f(O)+f(1)+f(2) f(c)=f(3)=1,且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导, 由罗尔定理知必存在ξ∈(c,3)c(0.,3),使f()=0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) =1,  (0,3), 使 f () = 0. 分析: 所给条件可写为 1, (3) 1 3 (0) (1) (2) = = + + f f f f (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 m  f (0), f (1), f (2)  M m M f f f   + + 3 (0) (1) (2) 由介值定理, 至少存在一点 c[0,2], 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = =1  f (c) = f (3) =1,且 f (x)在[c,3]上连续, 在(c, 3)内可导, 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3)  (0, 3), 使 f () = 0

例6.设函数f(x)在[0,上二阶可导,f(0)=f(1) 且/"(x)≤2,证明(x)≤1 证:x∈[0,1,由泰勒公式得 f()=f(x)+f(x)(1-x)+1f"(m)(1-x)2(0<m<1 f(0)=f(x)-f(x)x+"()x2 (0<5<1) 两式相减得0=f(x)+/"(m)-x)2-f"()x2 (x)=1r(-x)2-2)x2 f(m)(1-x2+2f5)x ≤(1-x)2+x2=1-2x(1-x)≤1,x∈[0,1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例6. 设函数 在 上二阶可导, 且 证明 证:  x[0,1], 由泰勒公式得 f (0) f (1) 两式相减得 2 2 2 1 2 1 0 = f (x) + f ()(1− x) − f ( )x 2 2 2 1 2 1  f (x) = f ()(1− x) − f ( )x 2 2 2 1 2 1  f () (1− x) + f ( ) x =1− 2 x(1− x) 1, x[0,1] = f (x) − f (x) x 2 2 1 + f ( ) x (0  1) ( ) ( )(1 ) ( )(1 ) (0 1) 2 2 1 = f x + f  x − x + f   − x   机动 目录 上页 下页 返回 结束