同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第七章 空间解析几何与向量代数（7.5）平面及其方程

第五节 第七章 平面及其方程 平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第五节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七章

平面的点法式方程 设一平面通过已知点M0(x2y2=)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面的方程 任取点M(x,y,z)∈∏,则有 ∏ 0 MM⊥n 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-y0,z-20) A(x-x0)+B(y-y)+C(z-=0)=0① 称①式为平面∏的点法式方程,称n为平面∏的法向量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面∏的方程 解:取该平面∏的法向量为 n=MMmM j k ∏ 34-6 23-1 (14,9,-1) 又M1∈∏利用点法式得平面∏的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

i j k = 例1.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明:此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 34 6|=0 一般情况:过三点Mk(xk2yk,k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-y1 =0 1123=y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) R 时,平面方程为 Qy ++-=1(a,b,c≠0) a b 此式称为平面的截距式方程 分析利用三点式x-ay ab0=0 C 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即bcx+acy+abz=abc HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c  0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(42+B2+C2≠0)② 任取一组满足上述方程的数x,y,=0,则 Ax0+ Byo+CEo +D=o 以上两式相减,得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0 显然方程②与此点法式方程等价因此方程②的图形是 法向量为n=(A,BC)的平面此方程称为平面的一般 方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C  ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax+ By+Cz +D=0(A+B+C4+0 特殊情形 当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面; 当A=0时,By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥i,平面平行于x轴; Ax+Cx+D=0表示平行于y轴的平面 Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面; C=+D=0表示平行于xoy面的平面 Ax+D=0表示平行于y0面的平面 By+D=0表示平行于zox面的平面 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程 解:因平面通过x轴,故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4,-3,-1)得C=-3B 化简得所求平面方程 3z=0 例3用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 (P327例4,自己练习) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By +Cz = 0 代入已知点 (4, −3, −1) 得 化简,得所求平面方程 (P327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角常为锐角)称为两平面的夹角 设平面的法向量为n=(A,B1,C1) 平面∏的法向量为m2=(42,B2,C2) 则两平面夹角O的余弦为 cose H1‖n 即 A1A2+B B2+CC2 cos e B12+ 2 C12√A2+B22+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 +C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B +C 2 1 2 1 2 A1 + B +C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2  n2 n1  ( , , ) n1 = A1 B1 C1 ( , , ) n2 = A2 B2 C2 1 2 1 2 cos n n n  n  = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

∏1:n1=(41,B1,C1) 12 cose ∏L (A2,B2,C2) n 特别有下列结论: (1)∏1⊥∏I2 n1⊥n2 A A+bb+c 0 ∏ (2)I1/I n1∥nh2 A B O A B ∏ ∏, HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2 特别有下列结论： 1 2 (1)  ⊥  A1 A2 + B1 B2 +C1C2 = 0 1 2 (2)  // 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = : ( , , ) : ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n A B C n A B C  =  = 1 1 2 1 2 1 2 cos n n n  n  = n1 ⊥ n2 1 2 n // n n2 n1 n2 n1 机动 目录 上页 下页 返回 结束