同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.6）图形

第六节 第三章 画数图形的描绘 曲线的渐近线 二、函数图形的描绘 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

第六节 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数图形的描绘 第三章

曲线的渐近线 定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点 时,点M与某一直线L的距离趋于0,则称直线L为 曲线C的渐近线 y=f(x 或为“纵坐标差 kx+b 例如双曲线x2-y2=1 O 有渐近线 ±少=0 b 但抛物线y=x2无渐近线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 一、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线  = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” N L y = k x +b M x y o C y = f (x) P x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.水平与铅直渐近线 若limf(x)=b,则曲线y=f(x)有水平渐近线y=b x—)+O (或x→>-∞) 若limf(x)=∞,则曲线y=f(x)有垂直渐近线x=x x-> (或x→>x0) Y 例1.求曲线y=-,+2的渐近线 解:lim(,+2)=2 x-00 x-1 y=2为水平渐近线 1m(1+2)=o,…x=1为垂直渐近线 x-1x-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y = b. (或x → −) 若 则曲线 有垂直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或x x 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x −   y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + =  x→ x −   x =1 为垂直渐近线. 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.斜渐近线(P75题13) 若lim[f(x)-(kx+b)]=0,则曲线y=f(x)有 x-)+0 (或x→>-∞) 斜渐近线y=kx+b lim [f(x)-(kx+b)1=0 +0O k= lim f(x b x→>+ox lim x f(x b k--]=0 f(x) x→>+0 X k= lim x→)+0X (或x→> X b m k--]=0 b= lim [f(x)-kx x→)+0X X x→>+∞ (或x->-∞) HIGH EDUCATION PRESS 90@ 机动目录上页下页返回结束

2. 斜渐近线 斜渐近线 y = kx + b. (或x → −) 若 (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x x (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x ] ( ) lim [ x b x f x k x = − →+ x f x k x ( ) lim →+  = b lim [ f (x) kx] x = − →+ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (或x → −) (或x → −) ( P75 题13)

例2.求曲线y=-2 的渐近线 X 3 解:…y m y (x+3)(x-1)x>-3 (或x→>1) 听以有铅直渐近线x=-3及x=1 又因k=1imf(x) X lim x→>∞x2+2x-3 2x2+3x b= lim[f(x)x]= lim x2+2x-3 x-2为曲线的斜渐近线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. 求曲线 的渐近线 . 解: , ( 3)( 1) 3 + − = x x x  y lim , 3 =  →− y x (或x →1) 所以有铅直渐近线 x = −3 及 x =1 又因 x f x k x ( ) lim → = 2 3 lim 2 2 + − = → x x x x b lim[ f (x) x] x = − → 2 3 2 3 lim 2 2 + − − + = → x x x x x  y = x − 2为曲线的斜渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 −3 1 y = x − 2

二、函数图形的描绘 步骤: 1.确定函数y=f(x)的定义域,并考察其对称性及周 期性 2.求f(x),f"(x,并求出∫(x)及"(x)为0和不存在 的点; 3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点; 4.求渐近线 5.确定某些特殊点,描绘函数图形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、函数图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3描绘y=x3-x2+2的图形 解:1)定义域为(-∞,+∞),无对称性及周期性 x2-2 x 令y=0,得x=0,2 令y"=0,得x=1 打1233 3)x(-∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞) y 043 4)x-13(极大) 拐点 (极小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 描绘 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 2 , 2 y  = x − x y  = 2x − 2, 令 y  = 0, 令 y  = 0, 3) x y  y  y (−,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+ ) + 0 − − 0 + − − + + 2 3 4 (极大) (拐点） 3 2 (极小) 4) x y −1 3 3 2 2 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 −1 1 2 3

例4描绘方程(x-32+4y-4xy=0的图形 解:1)y (x-3)2 ,定义城为(-,1),(1,+∞) 2)求关键点 2(x-3)+4y-4y-4xy=0 x-3-2(x-3)(x+ 2(x-1)4(x-1) 2+41”-8y-4 0 1-4 2 2(x-1)(x-1) 令y=0得x=-1, HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例4. 描绘方程 的图形. 解: 1) , 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y 定义域为 2) 求关键点  2(x −3) + 4y − 4y − 4xy  = 0 2( 1) 3 2 − − −   = x x y y  2 + 4y −8y  − 4xy  = 0 2( 1) 1 4 − −    = x y y 令 y  = 0得 x = −1, 3; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)判别曲线形态 x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+∞) yyy 0 无定义 2 0 (极大) (极小) 4)求渐近线 limy=∞,∴x=1为铅直渐近线 x-3 (x-3)(x+1) 4(x-1) 4(x-1 X HIGH EDUCATION PRESS 90@ 机动目录上页下页返回结

x (−,−1) −1 (−1,1) 1 (1,3) 3 (3,+ ) y  y  y + − − + − − + + − 2 0 , 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y , 4( 1) ( 3)( 1) 2 − − +  = x x x y 3 ( 1) 2 −  = x y 3) 判别曲线形态 0 0 (极大) (极小) 4) 求渐近线 lim , 1 =  → y x  为铅直渐近线 无 定 义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x =1

又因lim x→>∞x 4·即在1 4 b= lim(y-x)=lim 1(x-3) x→少4(x-)4+7 5x+95 x-1)4 (x-3 4(x-1) y=x-为斜渐近线 44 (x-3)(x+1) X 5)求特殊点x02 9 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

又因 x y x→ lim , 4 1 = 4 1 即 k = ) 4 1 b lim ( y x x = − → ] 4 1 4( 1) ( 3) lim[ 2 x x x x − − − = → 4( 1) 5 9 lim − − + = → x x x 4 5 = − 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y 5) 求特殊点 x y 0 4 9 − 2 4 1 为斜渐近线 4 5 4 1  y = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 4( 1) ( 3)( 1) − − +  = x x x y 3 ( 1) 2 −  = x y