同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.7）曲率

第七节 第三章 平面曲线的曲率 曲线的弯「与切线的转角有关 曲程度1与曲线的弧长有关 MM 主要内容: 弧微分 曲率及其计算公式 △a 曲率圆与曲率半径 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束

第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径  M  M M  平面曲线的曲率 第三章

弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数,其图形为AB 弧长s=AM=S(x) y↑y=f(x)B M′ △sMM′MM M △ △xMM△x MM′√(△x)2+(4y)2o MM b x x+△x MM △ 1+ MM MMT △x Im ±1 Ax-OMM s(x)=/i)△s △x->0△x 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上页下臾返回结束

一、 弧微分 设 y  f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s  AM  s(x) x s   M M M M    x M M    M M M M    x x y      2 2 ( ) ( ) M M M M     2 1 ( ) x y    x s s x x       0 ( ) lim 2  1 ( y ) x A B y  f (x) a b x o y x M x  x M  y lim 1 0       M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(x)=√1+(y ds=√1+(y)2dx或ds=dx)2+(dy2 若曲线由参数方程表示 x=x(1) y=y(t) 则弧长微分公式为ds=√x2+p2dt 几何意义:ds=M M/d d cos sIn al ds ds o xxix x 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上页下臾返回结束

则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2     s (x)  2 1 ( y ) ds 1 ( y ) dx 2     或 2 2 ds  (dx)  (dy) x  dx dx o x y x M dy T  几何意义: ds  MT cos ; d d   s x sin d d  s y 若曲线由参数方程表示:      ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为As,对应切线 转角为Aa,定义 弧段△上的平均曲率 △a K=\AS My △, 点M处的曲率 △ada K= lim △s ds 注意:直线上任意点处的曲率为0 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段s上的平均曲率 s K      M M  s 点 M 处的曲率 s K s       0 lim ds d  注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为

例1求半径为R的圆上任意点处的曲率 解:如图所示, △s=R△a 0△sR 可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害 R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s  R s K s        0 lim R 1  可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .  s R M M   机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率K的计算公式 设曲线弧y=f(x)二阶可导,则由 Ks da ds tana=y(设 <a 得 a= arctan y da =(arctan y,)'dx d 1+y 又ds=√1+y2dx 故曲率计算公式为K 1 当y<<1时,有曲率近似计算公式K≈|y 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上下返回结束

当 y  1时, 有曲率近似计算公式 tan  y  ) 2 2 (    设    得   arctan y  d  (arctan y )dx x y y d 1 2     ds 1 y dx 2    故曲率计算公式为 s K d d  2 3 (1 ) 2 y y K     K  y  又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y  f (x) 二阶可导, 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: X=xX (1)若曲线由参数方程 ()给出,则 ly=y(t Xy-xy K (i +i (2)若曲线方程为x=(y),则 X K 1+x2) K HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束

说明: (1) 若曲线由参数方程      ( ) ( ) y y t x x t 给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K     (2) 若曲线方程为 x ( y),则 2 3 (1 ) 2 x x K     2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K        机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.我国铁路常用立方抛物线y=6R 1x3作缓和曲线 其中R是圆弧弯道的半径,是缓和曲线的长度,且l<<R 求此缓和曲线在其两个端点OO,0),B(,6R 处的曲率 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全,离心力必须 连续变化,因此铁道的 曲率应连续变化 点击图片任意处播放\暂停 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上页下臾返回结束

例2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y  作缓和曲线, ) 处的曲率. 6 (0, 0), ( , 2 R l O B l 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化

例2.我国铁路常用立方抛物线y=6R 1x3作缓和曲线 其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,且l<<R 求此缓和曲线在其两个端点O(0,0),B(,)处的曲率 6R 解:当x∈[0,]时, 0 2RI 2R R B X Rl O K X Rl 然K 0:K 6Rl =0 R HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束

例2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y  作缓和曲线, 且 l << R. ) 处的曲率. 6 (0, 0), ( , 2 R l O B l 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:当 x[0,l ]时, R l 2   0 x Rl y 1    K  y  x Rl 1  显然 0; K x0  R K x l 1   2 2 1 x Rl  y   R B y o x 3 6 1 x Rl y  l

x= acost 例3.求椭圆 0≤t≤2)在何处曲率最大 y=bint 解: -asin t x=-acos t x表示对参 j=cost j=-bsint 数t的导数 故曲率为 ab K ijij (x2+2)(2sm2t+62c2 K最大 f()=a2sin2t+b2cos2t最小 求驻点: f(t=2a sint cost-2b costsint=(a-b)sin 2t 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎0 机动目录上贞下页返回结束

例3. 求椭圆      y b t x a t sin cos (0  t  2) 在何处曲率最大? 解: 故曲率为  ab 2 3 ( sin cos ) 2 2 2 2 a t  b t x  asin t; y  bcost; x  a cost y  bsin t 2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K        K 最大 f t a t b t 2 2 2 2 ( )  sin  cos 最小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (t) 2a sin t cost 2bcostsin t 2    (a b )sin 2t 2 2   求驻点: 数 的导数 表示对参 t x