同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第一章 函数与极限（1.6）极限存在准则

第占节 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 两个重要极限 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章

函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1 imf(x)=A,V{xn}:xn≠,f(xn)有定义 n→>x0(n→>∞),有limf(xn)=A xX.→00 n→0 为确定起见,仅讨论x→>x0的情形 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x   lim ( ) 0  : n  x , 0 x x n  有定义, ( ), xn  x0 n   f xn A n   lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x  x 有 ( ) n f x x   xn   机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.limf(x)=A.V{xn}:xn≠x0,f(xn) 有定义,且xn→x0(m→∞),有imf(xn)=A n→>00 证:>设limf(x)=A,即VE>0,3δ>0,当 x→>x0 0x0(n→∞) 对上述δ,3N,当n>N时,有0N时f(xn)-A00 可用反证法证明.(略) 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

定理1. f x A x x   lim ( ) 0  : n  x , ( ) n 0 n x  x f x 有定义, ( ) , 且 xn  x0 n   设 lim ( ) , 0 f x A x x   即   0,   0, 当 0 ,  x  x0   时 有 f (x)  A   .  : n  x , ( ) n 0 n x  x f x 有定义 , 且 ( ) , xn  x0 n   对上述  , n  N 时, 有 0 ,  xn  x0   于是当 n  N 时 f (x )  A   . n 故 f xn A n   lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n   有 证： 当   x y A    N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.Iimf(x)=A,V{xn}:xn≠x,f(xn)有定义 且xn→>x0(n→>∞),有limf(xn)=A (xn→>∞) n→>00 说明:此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xn≠x,且xn→>x0(n→>∞) 使limf(xn)不存在 n→)O 法2找两个趋于x0的不同数列{xn}及{xn},使 limf(xn)≠limf(xn) HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

定理1. f x A x x   lim ( ) 0  : n  x , ( ) n 0 n x  x f x 有定义 ( ) , 且 xn  x0 n   lim f (x ) A. n n   有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列  : n x , 0 x x n  ( ) , 且 xn  x0 n   lim ( ) 不存在 . n n f x  使 法2 找两个趋于 0 x 的不同数列  xn 及 , n x  使 lim ( ) n n f x  lim ( ) n n  f x   (x  ) (  ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明 lim sin-不存在 →)0 证:取两个趋于0的数列 及 (n=1,2 2n兀 2n兀+ 有 Im sin= lim sin2nx=0 n→00 n→0 Im sin,=lim sin(2nT+2)=1 n→0 n→0 由定理1知 lim sin-不存在 x->0 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

例1. 证明 x x 1 lim sin 0 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1  及 2 2 1      n xn 有 n n x 1 lim sin  n n x  1 lim sin 由定理 1 知 x x 1 lim sin 0 不存在 . (n 1, 2,)  lim sin 2  0  n n lim sin(2 ) 1 2      n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数极限存在的夹逼准则 定理2.当x∈U(x,δ)时,g(x)≤f(x)≤(x),且 (x|>X>0) lim g(x)=lim h(x)=A x x→>xo lim f(x)=A x->x0 (利用定理1及数列的夹逼准则可证) HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

2. 函数极限存在的夹逼准则 定理2. ( , ) , 当x x0  时   g x h x A x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x)  f (x)  h(x) , f x A x x   lim ( ) 0 ( x  X  0) (x  ) (x  ) (x  ) 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两个重要极限 BD 1. lim 0 A 证:当x∈(0,2)时 △AOB的面积0x 学 HIGH EDUCATION PRESS o。8 注日录上贞下页返回结束

1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 1 sin 1. lim 0   x x x 证: 当 即 sin x  2 1 x 2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2  x  x  x  x  (0, ) 2   x 时， (0 ) 2   x  lim cos 1, 0   x x  1 sin lim 0    x x x 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o x x x cos 1 sin 故有 1  注 注 目录 上页 下页 返回 结束

注 00 鲁 HIGH EDUCATION PRESS

当 2 0   x  时 0  1 cos x 1 cos x 2 2sin 2 x    2 2 2 x  2 2 x  lim(1 cos ) 0 0     x x 注

例2求lim tan x x>0 X 解:im tanx sinx 1 Im x→>0x o x coS x lim lim >0x x-0 COSX 例3.求lm arcsin x 0 x 解:令t= arcsin x,则x=sint,因此 原式=lim=lim t→>0Sint t→)0SInt HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

例2. 求 . tan lim 0 x x x 解: x x x tan lim 0         x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim 0  x cos x 1 lim 0  1 例3. 求 . arcsin lim 0 x x x 解: 令 t  arcsin x , 则 x  sin t ,因此 原式 t t t sin lim 0  1 lim 0  t t sin t 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1-coS x 例4.求lim x>0 sinx SIn 解:原式=lm x->0 2 例5.已知圆内接正n边形面积为 A=nr sin cos 证明:1imA,=zR2 R n→>0 证:1imA=limP2Sin COS t nR2 说明:计算中注意利用msnd(x)1 d(x)>0(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束

n n n R   cos sin lim 2   R  n 例4. 求 . 1 cos lim 2 0 x x x   解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x 2 1 2 1   2 1  例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: lim . 2 An R n    证: n n A  lim n   n n n A n R   sin cos 2  2   R 说明: 计算中注意利用 1 ( ) sin ( ) lim ( ) 0   x x x    2 0 sin lim        x 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束