同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第八章 多元函数微分法及其应用（8.1）基本概念

多元画飘微分法 及其液用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意:善于类比,区别异同

推广 第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用

第一节 第八章 多元画飘的基攏念 区城 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 TT HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

第一节 第八章 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念

区域 邻城 点集()={P|PP<8称为点P的邻域 例如在平面上, U(2。6)={x,y)(x-x02+(y-y0)2<6}圆邻域 在空间中, U(0:6)={(x,y,z)(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 球邻域) 说明:若不需要强调邻域半径δ,也可写成U(P) 点P的去心邻城记为U(P)={P|0<PPk<6} HIGH EDUCATION PRESS 10°a8

0 δ  PP0  一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, U( P0 ,δ ) = (x, y)  (圆邻域) 在空间中, U( P0 , ) = (x, y,z)  (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 ( ). U P0 点 P0 的去心邻域记为 δ PP0  机动 目录 上页 下页 返回 结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 0 平面上的方邻域为 U(P,6)={(x,y)|x-x0<8,|y-y0<6} HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U(P0 ,δ ) = (x, y)  。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.区域 (1)内点、外点、边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U(PE 则称P为E的内点 若存在点P的某邻域U(P)∩E=⑧, 则称P为E的外点 若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点,则称P为E的边界点 显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E

(2)聚点 若对任意给定的δ,点P的去心 邻城U(P,δ)内总有E中的点,则 称P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为 E的边界点 所有聚点所成的点集成为E的导集 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

(2) 聚点 若对任意给定的 , 点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 )

(3)开区城及闭区域 ●若点集E的点都是内点,则称E为开集; ·E的边界点的全体称为E的边界,记作OE 若点集E=OE,则称E为闭集; 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 则称D是连通的; D 连通的开集称为开区域简称区域; 开区域连同它的边界一起称为闭区域 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

D (3) 开区域及闭区域 • 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； • 若点集 E E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 • E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;

例如,在平面上 i(x y)1x+y>0 开区域 4{(x,y)1<x2+y2<4} {(x,y)x+y≥0 闭区域 4{(x,y)1≤x2+y2≤4} O1 2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例如，在平面上 (x, y) x + y  0  ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y  (x, y) x + y  0 ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y  开区域 闭区域     机动 目录 上页 下页 返回 结束x y o 1 2 x y o x y o x y o 1 2

鼎整个平面是最大的开域, 也是最大的闭域; 4点集{(x,y)x>1}是开集!, 但非区域 对区域D,若存在正数K,使一切点P∈D与某定点 A的距离|APkK,则称D为有界城,否则称为无 界城 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

 整个平面  点集 (x, y) x 1 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 −1 o 1 x y • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无

3.n维空间 n元有序数组(x1,x2,…,xn)的全体称为n维空间, 记作R",即 Rn=R×R×…×R ={(x,x2,…,xn)xk∈R,k=1,2…,n n维空间中的每一个元素(x1,x2…,xn)称为空间中的 个点,数xk称为该点的第k个坐标 当所有坐标xk=0时,称该元素为R中的零元记作 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, R , n n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 R = RRR n 一个点, 当所有坐标 称该元素为 n R 中的零元,记作 O