同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第八章 多元函数微分法及其应用（8.5）隐函数求导

第五节 第八章 隐菡数的导方法 个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

第五节 第八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法

本节讨论 1)方程在什么条件下才能确定隐函数 例如,方程x2+、y+C=0 当C0时,不能确定隐函数 2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 0 2 x  y C  当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(x0,y0)某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数 ②F(x0,y0)=0 ③F,(x,y)≠0 则方程F(x,y)=0在点xn的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件y0=f(x0),并有连续 导数 d F dx.(隐函数求导公式) 定理证明从略,仅就求导公式推导如下 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 ( , ) 0 0 F(x, y) P x y ( , ) 0; F x0 y0  则方程 0 F(x, y)  0在点x 单值连续函数 y = f (x) , ( ), 0 0 y  f x 并有连续 y x F F x y   d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0  ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数

设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数,则 F(x2f(x))≡0 两边对x求导 aF aF dy=0 ax ay dx 在(x0,y)的某邻域内F,≠0 d F dx F HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

F(x, f (x))  0 两边对 x 求导 0 d d       x y y F x F y x F F x y   d d  0 Fy 设 y  f (x) 为方程 F(x, y)  0 所确定的隐函数 , 在( , ) 0 0 x y 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,则还有 阶导数 d a Fx a Fr dy dx ax F. ay F dx FxxFy-FxxFx FxyFy-FyyFx/F F.F.2-2F..F.F.+F、、F HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,  2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F  F F   3 2 2 2 y xx y x y x y y y x F F F  F F F  F F   y x F F  ( ) y x F F y     ( ) 2 y x y xy y y y x F F F F F F F    二阶导数 : ( ) y x F F x    x y x x y d d 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0某邻域 可确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求 d dx x=0, dx2=0 解:令F(x,y)=siny+ex-xy-1,则 ①F=e2-y,F,=cosy-x连续, ②2F(0,0)=0 ③F2,(0.0)=1≠0 由定理1可知,在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

例1. 验证方程 sin y  e  xy 1  0 x 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y  f (x), 0 d d , d 0 d 2 2  x x  y x x y 解: 令F(x, y)  sin y  e  xy 1, x F(0,0)  0, F e y, x x   连续 , 由 定理1 可知, (0,0) 1 Fy  0 ① 导的隐函数 y  f (x), 则 F y x y  cos  ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求

d F dx x=o flx=o cosy-x x=0,y=o d dxx 0 d dx cosy-x x=0,y=0,y (e-y)(cos y-x)-(e-y)(sin y y-1) 0 (cos y-x y=0 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

d 0 d x x  y  0   F x F y x    1 cos y  x e y x  x  0, y  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d 0 d 2 2 x x  y ) cos ( d d y x e y x x     2 ( cos y  x )    3 1 0 0      y y x ( e y ) x   (cos y  x) (e y) x   (sin y  y  1) x  0, y  0, y   1

导数的另一求法一利用隐函数求导 sin y+e-xy=l=0, y=y(x) y 两边对x求导 0 cosy·y+e-y-xy’=0 -y coSy=x(0, 0 两边再对x求导 1 sin y (y)+cosy.y+e-y'-y-xy=0 令x=0,注意此时y=0,y′=-1 d 3 dx 0 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束

 0  x y 3 0 d d 2 2   x x  y sin y e xy 1 0, y y(x) x      cos y  y  两边对 x 求导 两边再对 x 求导  1  sin y ( y )  cos y  y  2 令 x = 0 , 注意此时 y  0 , y   1  e  y   y   x y   0 x x  e  y  xy   0 cos y x (0,0) e y x     导数的另一求法 — 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.若函数F(x,y,2z)满足 ①在点P(x,y,20)的某邻域内具有连续偏导数, ②2F(x2y0,=0)=0 ③F2(x2y,0)≠0 则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足0=f(x0,y) 并有连续偏导数 az F az F x 定理证明从略,仅就求导公式推导如下 学 HIGH EDUCATION PRESS ●。8

定理2 . 若函数 ( , , ) 0 0 0 P x y z F(x, y,z) z y z x F F y z F F x z         , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 F(x, y,z)  0在点( , ) 0 0 x y 并有连续偏导数 ( , ), 0 0 0 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , z  f x y 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 F x0 y0 z0  ( , , ) 0 Fz x0 y0 z0  ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设z=f(x,y)是方程F(x,y)=0所确定的隐函数,则 F(x2y,f(x,y))≡0 两边对x求偏导 2 F+e 0 在(x,y,=0)的某邻域内F≠0 ax 同样可得=y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

F(x, y , f (x , y ) )  0 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z     z y F F y z     同样可得 设 z  f (x, y) 是方程 F(x, y)  0 所确定的隐函数 , 则  Fz x z    0 ( , , ) 0 在 x0 y0 z0 的某邻域内Fz  机动 目录 上页 下页 返回 结束