同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十一章 无穷级数（11.5）幂级数的应用

第五节 第十一章 飘幂級飘展开式的粒用 近似计算 二、欧拉公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第五节 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章

近似计算 例计算5240的近似值精确到10-4 解:5240=5243-3=3(1-1) 1.411.4.91 53452·2!3853.3!3 2 1.411.4.911.4-9.141 2!3853.3131254.4!3 1.41 <3 1+-+ +…|<0.5×10 52·2!3 81(81 5/240≈3(1 524)≈3-0.00741≈29926 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) (−1  x  1) 例1. 计算 5 240 10 . −4     r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4    3 12 3 1 5 3! 1 4 9     +  +     + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14    81 8 1 1 1 3 1 25 6 − =   ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5   −   3− 0.00741  2.9926 的近似值, 精确到    +      + +         2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10−   3 1   = 4 3 1 5 1 −  2 8 3 1 5 2! 1 4    −  −    − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243−3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −    机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算ln2的近似值使准确到10-4 解:已知 In(l+x)=x (-1<x≤1) 234 ln(1-x)=-x X< 234 故n 1+x In(1+x)-In(1-x) X 2(x+-x3+-x3+ <X< 35 1+x 1=2得x=,于是有 ln2=2 33353573 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4  − = − − − − − −  x  x x x x x  例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得       = +  3 +  5 +  7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在上述展开式中取前四项 931131133 -+ 99 4.39 <0.2×10 78732 ln2≈2|-+ 0.6931 333353 73 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

4 9 3 1 9 1 2     r =        11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − =          +  +  +  3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2  0.6931 11 3 1 11 1 +     +  13 + 3 1 13 1 9 4 3 1  = 4 0.2 10 78732 1 − =   在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明:在展开式 1+x n =2(x+x3+x3+…) 中令x=(n为自然数),得 2n+1 n+ n 2n+132n+ 52n+1 n(n+1)=ln+2 2n+132n+152n+ 具此递推公式可求出任意正整数的对数.如 In 5=2In 2+ 2+ 1.6094 3959 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 ln n n n n n 得 ln(n +1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如       = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 ln5 2ln 2 2 1.6094 ( n为自然数) ,       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ln 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.利用sinx≈x-,求sin9°的近似值,并估计 3! 误差 解:先把角度化为弧度9° 9 (弧度) 180 20 Sin 20203!205!20720 1,兀、5 5!20120 (0.2)<×10 SIn ≈0.157080-0.000646 20203!20 ≈0.15643 误差不超过1035 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 = − 3 + 5 − ) 7 + 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  5 10 3 1 −   3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − +  0.157080 − 0.000646 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计  0.15643 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4计算积分士2e-dr的近似值精确到10 (取≈0.56419) 解:日 X x 1+ 2! 3! 2 ∑(-1)x( 0<X<+00 n=0 n! d 22∑(-1ydx 丌J0 n=0 Cto (-1) dx n=0 zn=0n!(2n+1)2n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( 取 例4. 计算积分 的近似值, 精确到 0.56419) 1   解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n   = = − (−  x  +) e x x d 2 2 2 1 0 −   dx 2 2 1 0      =  ! ( 1) 2 0 n x n n n   = −   = − = 0 ! 2 ( 1) n n  n x x n d 2 0 2 1  1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x   =  − = 0 ! 2 ( 1) n n  n 2 1 2 1 n+ (2n +1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

e IJO z(22.324.52!26.7.3 欲使截断误差r104-n≥4 取n=4,则所求积分近似值为 dx 22.324.5.2!26.7.3 0.5205 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6   −   +   −   e −x dx = 2 2 1 0 2          +   −   +  = −  2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6  n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 +    4 10−  2 4  !(2 +1) 2 10 n 则 n 应满足  n n e x x d 2 2 1 2 0  −  则所求积分近似值为 欲使截断误差  0.5205 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5计算积分∫dr的近似值精确到10 解:由于lim sIn x l,故所给积分不是广义积分 x->0x 若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间 上连续,且有幂级数展开式 4 sInx +…+(-1) 3!5!7! (2n+1) I sinx dx= l (-1) 0 x 3·3!5:5!(2n+1)(2n+1) <0.3×10 7·7!35280 1-0.05556+0.00167≈0.9461 HIGH EDUCATION PRESS 。8 机动目录上页下页返回结束

例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间  + + = − + − + + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 n x x x x x x n n x x x d 1sin 0  =1 −  + 5 5! 1  + +  + − + (2 1) (2 1)! ( 1) n n n r3  1− 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 :  0.9461 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、欧拉( Euler)公式 对复数项级数∑(n+ivn)① 1= 若∑un=l,∑vn=v则称④收敛,且其和为l+1V 若∑un+in=∑√42+v2收敛则称绝对收敛 1= 由于vn≤un2+mn2,n≤Vn2+vn2,故知 ∑(n+ivn)绝对收敛=∑vn∑Tn绝对收敛 n=1 ∑(ln+ivn)收敛 n=1 HIGH EDUCATION PRESS 08 欧拉目录上页下页返回结束

二、欧拉(Euler)公式 则称 ① 收敛 , 且其和为 ( ) 1 n n n  u + i v  = 绝对收敛 , 1   n= n u ( ) 1 n n n  u + i v  = 收敛 . , 1 u u n  n =  = , 1 v v n  n =  = 若 n n n  u + i v  =1 u + i v. 2 2 1 n n n =  u +v  = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u  u + v 2 2 n n n v  u + v ①   n=1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束