同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十二章 微分方程（12.9）常系数非齐次

第九节 第十二章 常系数非齐次线性微分方程 f(x)=eXPn(x)型 、f(x)=eI[P/(x) COSO +(x) SInox]型 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 f (x) = e  x Pm (x) 型 f x e P x x l x   ( ) = [ ( )cos ( )sin ]型 ~ P x x + n  一、 二、 第十二章

二阶常系数线性非齐次微分方程 y"+py+qy=f(x)(p,q为常数)① 根据解的结构定理,其通解为 y=r+y 齐次方程通解非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据∫(x)的特殊形式,给出特解y*的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y  + py  + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f(x)=exPn(x)型 为实数,Pn(x)为m次多项式 设特解为y*=eQ(x),其中Q(x)为待定多项式, y米*=ex[Q(x)+Q(x) =e[xQ(x)+24Q(x)+Q"(x) 代入原方程,得 Q"(x)+(22+p)Q(x)+(42+p+q)Q(x)=Pm(x) (1)若λ不是特征方程的根,即x2+p+q≠0,则取 Q(x)为m次待定系数多项式On(x),从而得到特解 形式为y*=eQmn(x) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

e [Q (x) x   + (2 + p )Q(x) ( ) ( )] 2 +  + p + q Q x e Pm(x)  x = 一、 f (x) = e  xPm (x) 型  为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q(x) ,  x = 其中 Q(x) 为待定多项式 , y* e [ Q(x) Q (x)] x  =  +   * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x  =  +   +   代入原方程 , 得 (1) 若  不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x). m  x = 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Q(x)+(2A+p0(x)+(x+p4+q)(x)=Pm(x) (2)若λ是特征方程的单根,即 +P+q=0,2A+p≠0, 则Q(x).m次多项式,故特解形式为y*=xQn(x)ex (3)若λ是特征方程的重根,即 +P+q=0,2元+p=0 则Q(x)是m次多项式故特解形式为y=x2Qn(x)ex 小结对方程①,当λ是特征方程的k重根时可设 特解y*=xgn(x)ex(k=0,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若  是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 x y x Qm x e  * ( ) 2 = 小结 对方程①, y* = x Q (x)e (k = 0,1, 2) x m k  此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) = m 2 +  + p + q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例L.求方程y"-2y-3y=3x+1的一个特解 解:本题λ=0,而特征方程为r2-2r-3=0, =0不是特征方程的根 设所求特解为y*=bx+b,代入方程 3box-3b1-2b=3x+1 比较系数,得 3bn=3 b=-1,b1 -2bn-3b1=1 于是所求特解为y*=-x+ 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 于是所求特解为  = 0  = 0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.求方程y"-5y+6y=xe2的通解 解:本题A=2,特征方程为r2-5+6=0其根为 3 对应齐次方程的通解为Y=C1e2+C2e3x 设非齐次方程特解为y*=x(bx+b1)e2x 代入方程得-2bx-b1+2b=x 2bn=1 比较系数得 26-b 0 2 0 因此特解为*=x(-x-1)2x 所求通解为y=Ce2+C2x-(2x2+x)e2x 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r − r + = 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b e 2 0 1 * = ( + ) 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 因此特解为 * ( 1) . 2 2 1 x y = x − x − e 代入方程得 − b x −b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( ) . 2 2 2 1 x − x + x e  = 2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求解定解问题 y+3y"+2y=1 y(0)=y(0)=y"(0)=0 解:本题λ=0特征方程为r3+3n2+2r=0,其根为 0 故对应齐次方程通解为y=C1+C2ex+C3e2x 设非齐次方程特解为ν*=bx,代入方程得2b=1,故 y*=2x,原方程通解为 y=C1+C2e+C3e+ox C+c 2+C 3=0 由初始条件得-C2-2C3= C2+4C2=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求解定解问题    =  =  =  +  +  = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 2 1 −C2 − 2C3 = − 故对应齐次方程通解为 Y = C1 x C e − + 2 x C e 2 3 − + 原方程通解为 C1 y = x C e − + 2 x C e 2 3 − + 由初始条件得  = 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解得 4 于是所求解为 y +e e-+-x 4 (-3+2x+4e e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

于是所求解为 y e e x x x 2 1 4 1 4 3 2 = − + − + − − 解得      = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、f(x)=e[P(x)osOx+1(x)iox]型 分析思路: 第一步将f(x)转化为 f(x=pm(x)e n+io)x +Pm(xe (n+io)x 第二步求出如下两个方程的特解 y+py+gy=pm (xe (n+io)x y+py+qy=Pm(x)e (元+i0)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 f x e  x  Pl x  x Pn (x)sin x 型 ~ ( ) = ( )cos + = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( )   i x Pm x e ( ) ( ) +  第二步 求出如下两个方程的特解 i x m y py qy P x e ( ) ( ) +   +  + = y  + py  + qy = 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 i x mP x e ( ) ( ) +  机动 目录 上页 下页 返回 结束

第一步利用欧拉公式将f(x)变形 10x LOx e e lor f(x)=exp(x) +P(x) 2 P(x), P(x) (n+iox P(x) Pn(x) -i0)x 2i 令m=max{n,l},则 f(x=Pm (xe n+io)x +Pm(x)e (n-io)x =Pm(xe n+io)x t Pm(xe n+io)x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形   = x f x e  ( )       = + i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (+ )       + − i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (− ) = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( )   i x mP x e ( ) ( ) −  = + +i x Pm x e ( ) ( )   i x mP x e ( ) ( ) +  令 m = maxn, l ,则 P (x) l 2 i x i x e e  −  + ( ) ~ P x + n  −  − i e e i x i x 2   机动 目录 上页 下页 返回 结束