《矩阵理论—知识点详解》第二章 向量与矩阵的范数（2.3）算子范数

3.算子范数 定义1设‖a是Pn上的向量范数射*m是 P上的矩阵范数,且 Ax las‖ Alma 则称‖*m为与向量范数l相容的矩阵范数

3. 算 子 范 数 定义 1 设|| • ||a 是P n 上的向量范数，||  ||m 是 P nn 上的矩阵范数，且 Ax a A m x a || || || || || || 则 称|| || 为与向量范数|| || 相容的矩阵范数. m a  •

例1设x∈P",A∈PN,则 Almn=∑∑|a j=I 是与向量范数·相容的矩阵范数 证Axl1=∑∑akxk i=1k=1 ∑∑|aik|Ixk i=1k=1 ∑∑|aik||xk =1i=1

例 1 || || . 是与向量范数 • 1 相容的矩阵范数 设 x  P n , A  P n  n ，则   = = = n j n i A m ai j 1 1 || || | | 1 证   = = = ni nk Ax ai k x k 1 1 1 || || | |   = = = ni nk aik xk 1 1| || |   = =  nk ni aik xk 1 1| || |

=∑(xk|·∑|aikl) k=1 ≤∑(∑xk|·∑ai1) =1k=1 ∑∑aiD·∑|xk i=lk=1 k=1 =‖4lm1°lxll

   = = = = • n k k n i n k aik x 1 1 1 ( | |) | | 1 || || || || 1 = A m • x (| | | | ) 1 1   = = =  n k n i xk aik ( | | | | ) 1 1 1    = = =   n k n i ik n k xk a

例2设x∈P",A∈P",则Am,是与x2 相容的矩阵范数 证‖Ax=∑ ;1x1+a2;x+…+a ≤∑(∑1ar2)(∑|x;2) C∑|an12)·∑|x2 L=lJ =An,‖xl

例 2 相容的矩阵范数. 2 , || || || || 2 x P A P A m x 设  n  nn ，则 是与 证 2 2 || Ax ||  = = + + + n i i i i n n a x a x a x 1 2 1 1 2 2 |  | ( | | ) ( | | ) 1 1 1 2 2    = = =  • n i n j n j aij x j   = = = = • n i n j n j ai j x j 1 1 1 2 2 ( | | ) | | 2 2 2 || || || || 2 = A m • x

定理1设‖!a是P"上的向量范数A∈P,则 I Ax ll (=mx‖All) x≠0 lulla=l 是与向量范数‖xa相容的矩阵范数 证 I All= max l Ax il a ‖!Ala≥ A Ax la x≠0 lAla‖!lla=l‖Axla

证 定理 1 设|| x ||a 是P n 上的向量范数, A P nn ,则 0 a a x a || Ax || || A || max  || x || = a 1 a ||u|| ( max || Au || ) = = 是与向量范数|| || 相容的矩阵范数. x a 0 a a x a || Ax || || A || max  || x || = a a a x Ax A || || || || || ||  A a x a Ax a || ||  || || || ||

1)A≠0P中存在x0≠0Ax0≠0 Axo lI>0,‖xola>0 A I Axo ll >0 0‖a 2)‖!Al l孔Axll ≠0 孔|·‖Axll x≠0

1) A  0 P x0  0 n 中存在 Ax0  0 || Ax0 ||a  0, || x0 ||a  0 0 || || || || || || 0 0   a a a x Ax A 0 2 a a x a || Ax || ) || A || max || x ||    = 0 a x a | | || Ax || max || x ||    =

元|·mx l Ax ll 引孔|-‖Ala ≠0 3)‖A+B‖lmax I (A+ B)x a ≤mv l4xl+‖Bcl ≠0 ≤nv I Ax I Bx ll ≠0 x≠0 叫All+‖B

0 a x a || Ax || | | max || x ||   =  A a =|  |  || || A B a 3) || + || 0 a x a || ( A B )x || max  || x || + = 0 a a x a || Ax || || Bx || max  || x || +  0 0 a a x x a a || Ax || || Bx || max max   || x || || x ||  + A a B a =|| || + || ||

推论1设‖xa是P"上的向量范数A、B∈Pn Al是从属于‖xll的算子范数,则它是榕的 矩阵范数,郾 AB aslla ll·l‖Bla 证 I AB=mac I ABrIl X≠0 ≤nv I Al. Bx l a 0

推论 1 || || , , n n n x a P A B P  设 是 上的向量范数 、  || A||a 是从属于|| x ||a 的算子范数，则它是相容 的 矩阵范数，即AB a A a B a || || || ||  || || 证 0 a a x a || ABx || || AB || max  || x || = 0 a a x a || A || || Bx || max  || x ||  

叫lb·max Bx ll x0∥x=Ala·Ba 算子范数的特性: 1)它是所有与向量范数xa相容的矩阵范数咔 最小的 证 walla‖l·ax∈p→ I Ax llo nSAV0≠x∈Pn

0 a a x a || Bx || || A || max  || x || =  A a B a =|| ||  || || 算子范数的特性： 1) 它是所有与向量范数|| x ||a 相容的矩阵范数中 最小的. 证 n || Ax ||a || A||  || x ||a x P 0 a n a || Ax || || A || x P || x ||    

I Al=max l Ax k sila ll x≠0 2)它的两种表达形式 I=max A l(max y ≠0‖|xl|l 3)它是自相容矩阵范数(推论1)

0 a a x a || Ax || || A || max || A ||  || x || =  2) 它的两种表达形式 0 a a x a || Ax || || A || max  || x || = a 1 a ||u|| ( max || Au || ) = = 3) . 它是自相容矩 范 (推 1) 阵 数 论