《矩阵理论—知识点详解》第四章 矩阵分解（4.3）Gerschgorin定理的推广

3 Gerschgorin定理的推广 定理1( Ostrowski)设A=(a;)∈Mn(C),a∈[0,1 为给定的数,则A4的所有特征值位五个圆盘的 并集 ∪{x∈C:z-anR;C} 其中,R1=∑|anC=∑|an ≠

返回 3 Gerschgorin定理的推广 定理1(Ostrowski) A = (a ) M (C), [0, 1] 设 i j n  n i i i Ri Ci z C z a 1 1 { :| | } = −  −    为给定的数，则A的所有特征值位于n个圆盘的 并集 1 1 | | | | n n i ij i ji j j j i j i R a C a = =   其中， = =  

证:1):a=0或a=1 Gerschgorin定理 2): Ax=/x|= 2 aij l ≠L ∑|l1x;1=∑|a;(a;21x;p 丿≠L j≠i s|20/gy1a1 f1∑(ax;1a)}=a j=1 J= J≠

返回 证: 1):  = 0或 = 1 2): Ax = x Gerschgorin定理 | | | | | | 1 − =   = n j i j  aii xi aij x j | | | | 1    = n j i j aij x j | | (| | | |) 1 1 =   = − n j i j aij aij x j       − −  =  = −    1/ (1 ) 1 1 1 1/ 1 [ (| | ) ] [ (| | | |) ] n j i j n j i j i j i j j a a x

=(∑|;D1∑|a|x 1/(1-a)ul-a ≠L ≠ 12-anlx:R21a1x;0-a)-a>0 ≠ =l|x121-u-a-a ≠L

返回  − −  =  = =   1/ (1 ) 1 1 1 ( | |) [ | | | | ] n j i j n j i j i j i j j a a x     − −  = −   1/ (1 ) 1 1 | | | | [ | | | | ] n j i j i i i i i j j a x R a x Ri  0     − −  =   − 1/ (1 ) 1 1 | | [ | | | | ] | | n j i j i i j j i i i x a x R a

-ai、1/1-a 1(-a)≤∑1 J= J≠ 1-a⊥1-a)1-.1 lx (1-a) ⅰ=1R ≠ 1/(1-a) Ix; /-as2Cilxil-ay

返回 1/ (1 ) 1 1/ (1 ) 1/ (1 ) ) | | | | | | | | (      −  = − −   − n j i j i i j j i i i x a x R a     − = −  = = − − n i n j i j i j j n i i i i i x a x R a 1 1/ (1 ) 1 1 1/ (1 ) 1/ (1 ) ) | | | | | | | | (      =  = − n j j j C x 1 1/(1 ) | |             − = − = − − n j j j n i j i i i x C x R a 1 1/ (1 ) 1 1/ (1 ) 1/ (1 ) | | | | | |     

存在kdx=ak/(1-a) ≤Cb R 2--akk <RECK

返回 1/(1 ) | | ( ) kk k k a C R    − −  1 | | kk k k a R C   − −  存在 k

引理设a和为非负实数,0≤a≤1,则 21-0<t+(1-a)o 证:s"+-p 1) q p q 取p=1/a,q=1/1-a) nl/a)(v1(1-a)1-a≤aml1a+(1-a)y1(1-a) 1/c T=,O= 1/(1-a)rad1-a≤a z+(1-a)

返回 引理 设 和 为非负实数，0   1，则         (1 ) 1  + − − 证: 1 1 1 1 ( 1) p q uv u v p q p q  + + = 取p = 1/,q = 1/(1−) 1/ 1/(1 ) 1 1/ 1/(1 ) ( ) ( ) (1 )         − − − u v  u + − v 1/ 1/(1 ) ,     − = u = v         (1 ) 1  + − −

定理2设A=(ai)∈C,则A的特征值位于 如下的并集中 U{z∈C:|z-at|≤aR;+(1-a)C} 推论设A=(a;)∈Cn,如果存在a∈0,1使得 an>aR2+(1-a)C,i=1,2,…,n 则A非奇异

返回 推论 ( ) , n n A aij C  设 =  | | (1 ) , 1,2, , ii i i a R C i n  + − =   如果存在 使得  [0,1], 定理2 ( ) , n n A aij C  设 =   n i ii Ri Ci z C z a 1 { :| | (1 ) } =  −   + − 则A的特征值位于 如下的并集中 则 非奇异 A

定理3设A=(a1)∈CXm,则4的特征值位于 n(n-1) 个 Cassini卵形域O;的并集中 Oj 3-aiilz-ajksR; r, itj

返回 定理3 O z a z a R R i j ij :| − ii || − jj | i j ,  个 卵形域Oij 的并集中 n n Cassini 2 ( −1) ( ) , n n A aij C  设 =  则A的特征值位于

证:Ax=A xr≥xs|=max|x (-amr)xr=∑ J≠r (-sx=∑xj ≠S (1)xs=0→x=0,t≠r,t∈N→=ar →∈O (2)x3≠0→|x图x>0 (-am)(1-as)xrxs=∑ mrj i∑as ≠F ≠S

返回 证: T n Ax x, x (x , x , , x ) =  = 1 2  | | | | max | | t t r xr xs x   = − =  jr arr xr arj x j ( ) − =  js ass xs asj x j ( ) (1) = 0 s x 0, , x t r t N t =    = arr  Ors − − =    js sj j j r ( arr )( ass)xr xs arj x j a x (2)  0 s x | xr || xs | 0

元-am| 彐2arxl2asxj ≠ ≠S ≤(Σ|ani|1x;D)(∑|as;|l:D ≠P 丿≠S ≤Rr|xs|R3|xr 1-ar|12-as≤RrRs

返回 | | | | | || | rr ss r s  − a  − a x x  (  | | | |) (  | | | |)  js sj j j r rj j a x a x | | | |  Rr xs Rs xr | | | | rr ss  − a  − a  Rr Rs =|  | |  |  js sj j j r rj j a x a x