《矩阵理论—知识点详解》第四章 矩阵分解（4.5）摄动定理

5摄动定理 例1 A= =a是的n重特征值 A |2-a=E

返回 5 摄动定理 例1 1 1 a a A a     =           = a A n 是 的 重特征值 1 1 a a A  a     =         1 | | n i    − = a

定理设A=PAP∈C",A=dig(,2,…,4n) δ∈Cn,A+8的特征值为A,,…,An,则对任一 H存在使得 4-;PP 此外,若λ;是一个重数m的特征值,且圆盘 Sz={z:|z-x;PSP‖ 和圆盘Sk={z:z-4k圳P-8P|(≠k)不 相交,则S正好包含着A+的m个特征值

返回 定理1 1 , 1 2 , ( , , , ), n n A P P C diag   n − 设 =    = , 1 2 , , , , n n       + C A 的特征值为 ，则对任一 n   j i 存在 使得 1 | | || ||    i j P P − −   此外，若 是一个重数 的特征值，且圆盘  i m 1 { :| | || || } S z z P P i i   − = −   1 || || }( ) P P   i k −    不 A m +的 个特征值. { :| | 和圆盘S z z k k = −  相交，则 正好包含着 Si

HE:(1)C=P(A+O)P=(c )nxn P=B Ci=+bin(i=1,2,…,n) Gerschgorin圆盘定理 14-a月p-(4+h)R(O)=R(B) 14-1-R(B)+|h图PSP (2)Gk(C)=z: -(k +bkksrk B)c sk A=2=…m=G1(O)={:z-(列2+h21) ≤R(B)cS(t=1,2,…,m)

返回 证: 1 P P B  − = 1 (1) ( ) ( ) C P A P c  ij n n − = + =  ( 1,2, , ) ii i ii c b i n = + =  Gerschgorin圆盘定理 | | | ( ) | ( ) ( ) j ii j i ii i i    − = − +  = c b R C R B | | | | ( ) | |     i j j i i ii − = −  + R B b 1 || || P P −   (2) ( ) { :| ( ) | ( )} G C z z b R B k k kk k = − +    Sk i i i i 1 2 m     = = = ( ) { :| ( ) | t t t G C z z b i i i i = − +  ( 1,2, , )  = S t m i ( ) t  R B i

定义设‖‖为C〃上自相容矩阵范数.若对任 一对角矩阵D=dlig(41,a2,…,n),满足 I=max ni l 则称它为单调或绝对范数 例2判断那些是单调范数: llm,,lm, lm,l17 l23 llo

返回 定义 , || || . n n 设 为 上自相容矩阵范数 若对任  C 则 为 称它 单调 或( 绝对)范数. || || max | | i i D =  1 2 ( , , , ) 一对角矩阵 ，满足 D diag =   n 例 2 判断那些是单调范数： 1 2 1 2 || || || || || || || || || || || || m m m ， ， ， ， ，  

定理2设A=PDP∈C",D=lig(A,…,4n, 则对A+δ的任一恒有 min|2-N‖PSP 这里,‖.单调矩阵范数 证:P16P=B一C=P(4+8)P=D+B ()D-m奇异存在H=1结论成立

返回 定理 2 1 , 1 , ( , , ), n n A PDP C D diag  n − 设 =  = 则对 的任一 ，恒有 A+  1 min | | || || i i    P P − −  这里， 为单调矩阵范数 || || .  证: 1 P P B  − = 1 C P A P D B ( )  − = + = + （） 奇异 1 D I −  存在 i   = i 结论成立

(2)D-mI非奇异 C-uI=(D-ul)/+(D-ul)Bl Ⅰ+(D-MD)B奇异—1为D-)6的特征值 ‖(D-p)B|‖(D-B|≥1 max ‖B|= ‖B|≥1 n i-a mn lni-u min|42-l‖B|=‖PoP‖

返回 （ ） 非奇异 2 D I −  1 [ ( ) ] I D I B  − C I D I − = −   ( ) + − 1 I D I B ( )  − + − 奇异 1 1 ( ) D I B  − − − 为 的特征值 1 1 || ( ) |||| || || ( ) || 1 D I B D I B   − − −  −  1 1 max || || || || 1 i | | min | | i i i B B     =  − − 1 min | | || || || || i i    B P P − −  =

残余向量:r=Ax-见x (1):r=0→与x是精确的 (2):r≠0l很小→花是的近似特征值 A2(n=(n-1)0°),x=(1 10 ‖Ax-xlle=(n-1)10″n→>00

返回 残余向量：r Ax x = −  (1)：r = 0  与 是精确的 x (2)：r  0 || || r A 很小 是 的近似特征值   ( 1)10 1 , , 10 n n n n A x n −   − −   = =         || || ( -1)10 n Ax x n −  −  = n →  0

定理3设A=PDP∈C",D=dlig(λ,2,…,λn, 则对任意单调矩阵范数‖若和x(=1满 足‖Ax-x‖s,那么 min41-‖!PⅢPl|=Ek(P) 这里,‖为与‖·‖相容的向量范数,是任意给 定的正数 证:①1D-x奇异 结论成立

返回 证: 定理 3 1 , 1 2 , ( , , , ), n n A PDP C D diag    n − 设 =  = ' 则对任意单调矩阵范数 ，若 和 满 || || (|| || 1)  =  x x 1 min | | || |||| || ( ) i i     P P k P − −  = ' 足 ，那么 || || Ax x −    ' 这里， 为与 相容的向量范数， 是任意给 || || || ||    定的正数. （ ） 奇异 1 D I −  结论成立

(2)D-川/排奇异r=Ax-x=P(D-)Px x=P(D-D-P-r-1=x=P(D-arp-rIl l4|PⅢ(D-xn)1川P1mcx 1s‖P‖ min|41-2/∥ min|42-s‖!PⅢPl=Ek(P)

返回 1 1 ' 1 || |||| ( ) |||| |||| || P D I P x  − −  − 1 1 ' 1 || || || |||| || min | | i i P P x   −  − 1 min | | || |||| || ( ) i i     P P k P − −  = （ ） 非奇异 2 D I −  1 r Ax x P D I P x   ( ) − = − = − 1 1 x P D I P r ( )  − − = − ' 1 1 ' 1 || || || ( ) || x P D I P r  − − = = −

定理4设A=PDP1∈Cm,D=dig(,…,n) δ=QAQD=dlig(A,…,n), 为4+∂的一个特征值,则存在一个特征值 λ使得 lu-nisinf k(p 2)max ui l P, O I≤jn 证:min-图P6P圳 POAO P‖ ≤i≤n 斗 P2 2 Pl max;sk(PQ)maxl l≤j≤n l≤j≤n

返回 证: 定理 4 1 1 , ( , , ), n n A PDP C D diag  n −  设 =  = 1  Q Q− =  1 , 1 | | inf ( ) max | | i i P Q j n    k P Q−   −    为 的一个特征值，则存在 的一个特征值 A A + 1 ( , , ), D diag =  n i 使得 1 1 min | | || || i i n    P P −   −  1 1 || || P Q Q P − − =  1 1 1 || || || || max | | j j n P Q Q P  − −    1 1 ( ) max | | j j n k P Q  −   