湖南大学：《复变函数与积分变换》第三章 复变函数的积分（王文祥）

复变函数与积分变换 第三章 复变函数的积分

复变函数与积分变换

s31复积分的概念 Q一、复积分的定义 Q二、积分存在的条件及其计算法 Q三、积分的性质

§3.1 复积分的概念 一、复积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质

、复积分的定义 1有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲 线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方 向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲 线,称为有向曲线 如果到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 记为C

一、复积分的定义 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲 线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方 向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲 线, 称为有向曲线. x y o A 如果 B A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, . − 记为C

曲线方向的说明: 般:曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向 那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C 闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当 曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位—d 于P点的左方 与之相反的方向就是曲线的负方向 对分段光滑的闭曲线而言,逆时针方向为正方向,顺 时针方应为鱼方向 今后所说的曲线总是指光滑或逐段 特别申明光滑曲线,特别说明的例外

闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当 曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位 于P点的左方. x y o P P P P 与之相反的方向就是曲线的负方向. 曲线方向的说明: 一般: 曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向. 那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C - 对分段光滑的闭曲线而言,逆时针方向为正方向,顺 时针方向为负方向 特别申明 今后所说的曲线总是指光滑或逐段 光滑曲线, 特别说明的例外

2复积分的定义: 设函数w=∫(z)定义在区域D内C为区域 D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线 把曲线C任意分成n个弧段设分点为 A=0,1, 94k-14k,9n B B 在每个弧段不1k (k=1 上任意取一点k k-1 12

2.复积分的定义: , , , , , , , , , ( ) , A z0 z1 z 1 z z B C n D A B w f z D C = k k n = =  −  把曲线 任意分成 个弧段 设分点为 内起点为 终点为 的一条光滑的有向曲线 设函数 定义在区域 内 为区域 o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k  C 1  2 , ( 1,2, , ) 1 k k k k n z z 上任意取一点 在每个弧段 =  −

作和式S=∑f(k)(k-x-1)=∑∫(k)A k=1 =1 这里△乙k=k-k1,Ak=1的长度 记δ=max△sk},当n无限增加且δ→0时, 1<k≤n 如果不论对C的分法及么k的取法如何,Sn有唯 极限,那么称这极限值为 B 函数f(z)沿曲线C的积分, 记为 「f(x)dz=im∑∫(、s,5y k-1 n→0 2 k=1

( ) ( ) ( ) , 1 1 1 k n k k n k n k k k S =  f  z − z =  f z = = 作和式  −  o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k  C 1  2 max{ }, 1 k k n = s   记 , , 这里zk = zk − zk−1 sk = zk−1 zk的长度 当n无限增加且 → 0时, ( ) , , , 记 为 函 数 沿曲线 的积分 一极限 那么称这极限值为 如果不论对 的分法及 的取法如何 有 唯 f z C C  k Sn ( )d lim ( ) . 1 k n k k C n f z z =  f z  = → 

关于定义的说明: (1)如果C是闭曲线,那么沿此闭曲线的积分 记为「f(au (2)如果C是x轴上的区间a≤x≤b,而∫(z) =u(x,这个积分定义就是一元实变函数 定积分的定义

关于定义的说明: ( )d . (1) ,  C f z z C 记为 如果 是闭曲线 那么沿此闭曲线的积分 . ( ), (2) , ( ) 定积分的定义 这个积分定义就是一元实变函数 如果 是 轴上的区间 而 u x C x a x b f z =  

积分存在的条件及其计算法 1.存在的条件 如果∫(z)是连续函数而C是光滑曲线时, 积分[f(x)dkz一定存在 证设5k=54+i7 k △k=不k-xk-1=xk+k-(xk-1+k-1) k-1 △x2+iy, k

二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 ( )d . ( ) , 积分 一定存在 如果 是连续函数而 是光滑曲线时 C f z z f z C 证 , k k k 设  =  + i ( )  k = k − k−1 = k + k − k−1 + k−1 z z z x i y x i y ( ) ( ) = k − k−1 + k − k−1 x x i y y , k k = x + iy

所以∑f(4k)A乙k =1 ∑(5k,mk)+iv(5,mk)(△k+边yk) k=1 =∑(5k,k)Axk-v(5k,mk)△yk +iIv(5k, k )Axk+u(5k, nk )Ayk I =1 由于f(z)=l(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续 那么u(x,y)和v(x,y)在D内均为连续函数, 根据曲线积分的存在定理

k n k k  f z =1 所以 ( ) = = +  +  n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( )   = = +  +  =  −  n k k k k k k k n k k k k k k k i v x u y u x v y 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ]         根据曲线积分的存在定理, 由于 f (z) = u(x, y)+ i v(x, y)在D内处处连续, 那么u(x, y)和v(x, y)在 D内均为连续函数

当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 不论对C的分法任何点(k,m)的取法如何 下式两端极限存在 ∑∫(5kA=∑a(5,m)-(5,m k=1 k=1 +∑v5,m)△x+0(5,nAy =1 f(adu=l udx-vdy+il ydx + udy

当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ( , ) , 下式两端极限存在 不论对C的分法任何 点  k k 的取法如何    = = = +  +   =  −  n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k i v x u y f z u x v y 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] ( ) [ ( , ) ( , ) ]          C f (z)dz  − C udx vdy  + C = + i vdx udy