同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 行列式（1.4）对换

行列式 第四节对换 >、对换的定义 二、对换与排列的奇偶性的关系 三、小结思考题

王一、对换的定义 定义在排列中,将任意两个元素对调,其余 元素不动,这种作出新排列的手续叫做 对换 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换 例如 1…a1abb1…bma1…ab1…bnbc1cCn 王a1…a1bmb1bna…ab∵bn 上页

一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． a1 al a b b1 bm 例如 a b a1 al bbaa b1 bm l m n a a a b b b c c 1 1 1 l m n a a b b b a c c 1 1 1 b a a b

王二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列 改变奇偶性。 证明设排列为 ”“对换与b 1…a1babh1 工工 除a,b外,其它元素的逆序数不改变 上页

二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为 a1 al ab b1 bm 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素的逆序数不改变. ab ba

当ab时, 经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1. 工工工 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性 设排列为 a,ub,…bbc,…c n 现来对换a与b 上页

当 a  b 时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 经对换后 a 的逆序数不变 ， b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 l m n a a ab b bc c 1 1 1 当 a  b 时， 现来对换 a 与 b

b1…bnbc1 n m次相邻对换 a1…a1⑩bh1…bnc1…cn m+1次相邻对换a1ab1…bma1"Cn mb1…bnbc1…c, 2m+1次相邻对换 a1…a1bb1…bnac1…cn 所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性 上页

m 次相邻对换 l m n a a ab b  b c c 1 1 1 m + 1 次相邻对换 l m n a a b b b a c c 1 1 1 , 1 l 1 m 1 n  a a ab b bc c 2m +1 次相邻对换 , 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. ab l m n a a a b b b c c 1 a 1 b 1 b a

推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 证明由定理知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列逆序数为0,因此 知推论成立 定理2n阶行列式也可定义为 工工工 D=∑(-1)an1an2 P 其中t为行标排列P2…P的逆序数 ■ 证明按行列式定义有 上页

推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. ( ) p p p n t n D a 1a 2 a 1 2 =  − 1 定理2 n 阶行列式也可定义为 其中 t 为行标排列 p1 p2  pn 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明 按行列式定义有

D=z(-1) P12p2 npn 庄记D=∑ 1P2 Pnh 丰对于D中任意一顶(D1 npn 牛总有且仅有D中的某一项()an12an, 与之对应并相等;反之,对于D1中任意一项 生(a3x,.也总有且仅有D中的某一项 (-1a1na2…am,与之对应并相等,于是D与D 中的项可以一一对应并相等,从而D=D 上页

( ) p p npn t D a a a 1 1 2 2 =  −1 ( ) p p p n t n D1 a 1a 2 a 1 2 记 =  −1 对于D中任意一项 ( 1) , 1 p1 2 p2 npn t − a a a 总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) , q11 q2 2 q n s n − a a a 与之对应并相等;反之, 对于 D1 中任意一项 ( 1) , p11 p2 2 p n t n − a a a 也总有且仅有D中的某一项 ( 1) , 1q1 2q2 nqn s − a a a 与之对应并相等, 于是D与 D1 中的项可以一一对应并相等, 从而 . D = D1

定理3n阶行列式也可定义为 D=2(-1)an0n0 Pn④n 其中P1P2Pn,q12…是两个级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和 1试判断14和=44, 是否都是六阶行列式中的项 解 14234314215665 下标的逆序数为 (431265)=0+1+2+2+0+1=6 所以m142331n4256465是六阶行列式中的项 上页

定理3 n 阶行列式也可定义为 ( ) p q p q pnqn t D a a a 1 1 2 2 =  − 1 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. n q q qn p1 p2  p , 1 2  n t 例1 试判断 a14a23a31a42a56a65 和− a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为 t(431265) = 0 + 1+ 2 + 2 + 0 + 1 = 6 所以 14 23 31 42 56 65 是六阶行列式中的项. a a a a a a

324314512566 下标的逆序数为 (452316)=8 所以 3243145125066 不是六阶行列式中的项 上页

− a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为 t(452316) = 8 所以 32 43 14 51 25 66 不是六阶行列式中的项. − a a a a a a

例2在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号 (1)a2343{42561465; (2) 3243145166u25 解(1)a234314245641465→ 1423031425665 431265的逆序数为 t=1+0+2+2+1+0=6 所以a231450n15前边应带正号. 上页

例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. (1) ; a23a31a42a56a14a65 (2) . a32a43a14a51a66a25 解 23 31 42 56 14 65 (1) a a a a a a 431265的逆序数为 t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6, 所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号. , → a14a23a31a42a56a65