广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿，第三版）第一章 实数集与函数（1.4）具有某些特性的函数

§4具有某些特性的函数 1.有界函数若函数f(x)在定义域D上既有上界又有下界,则称f为D上 的有界函数。这个定义显然等价于,对一切x∈D,恒有f(x)|≤M 有界函数的几何意义 有界函数 y M yfax) 0 X M

1 -M y M x o y=f(x) X 有界函数 -M y M x o y=f(x) X -M y M x o y=f(x) X y M x o y=f(x) X M x o y=f(x) X 有界函数 §4 具有某些特性的函数 1. 有界函数 若函数 f (x) 在定义域 D上既有上界又有下界，则称 f 为 D上 的有界函数。这个定义显然等价于，对一切 x  D，恒有 | f (x) |  K 有界函数的几何意义 M

无界函数 请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义 例f(x)=xsnx,x∈(0.,+∞)是无界函数。证明对任意的 M>0,存在n:2nx+>M,取x=2nx+-,则 2 2 2

2 M -M x o X 0 x y 无界函数 M -M x o X 0 x y M -M x o X 0 x M -M x o X 0 x y 无界函数 请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。 例 f (x) = xsin x , x(0, +) 是无界函数。证明 对任意的 M 0，存在 n n +  M 2 : 2   ，取 2 2  xm = n + ，则

f(xm)=2nT+->M 2.单调欧数 看下面函数的图像,给出单调函数的定义 y=f() y=f(x) (x2) I f(u (x) (x2)

3 y = f (x) ( )1 f x ( ) 2 f x x y o I y = f (x) ( )1 f x ( ) 2 f x x y o I f xm = n +  M 2 ( ) 2   2. 单调函数 看下面函数的图像，给出单调函数的定义 y = f (x) ( )1 f x ( ) 2 f x x y o I y = f (x) ( )1 f x ( ) 2 f x x y o I

奇函数与偶函数 1)定义域关于原点对称 (2)奇函数(偶函数)对任何x∈D有f(-x)=-f(x), (f(-x)=f(x))

4 o -4 -2 2 4 -2 2 4 -4 o -4 -2 2 4 -2 2 4 -4 奇函数与偶函数 （1）定义域关于原点对称 （2）奇函数（偶函数）对任何 x  D 有 f (−x) = − f (x)， （ f (−x) = f (x) ）

两条件缺一不可。 fcx=f(x) ff(r) y=了(x) x fcx X 奇函数 偶函数

5 奇函数 f (− x ) y x f (x) o x -x y = f (x) 奇函数 f (− x ) y x f (x) o x -x y = f (x) f (− x ) y x f (x) o x -x y = f (x) y x f (x) o x -x y = f (x) 两条缺一不可。 clf, x=-2:1/20:2; y1=x.^3; y2=x.^2-1; subplot(1,2,1) plot(x,y1,'r','linewidth',2),hold on 两条件缺一不可。 1 2 1 0 8 6 4 2 -5 5 1 0 x y o -x x 偶函数 f x f x ( ) ( ) − = y f x = ( ) 1 2 1 0 8 6 4 2 -5 5 1 0 x y o -x x 偶函数 f x f x ( ) ( ) − = 1 2 1 0 8 6 4 2 -5 5 1 0 x y o -x x 偶函数 f x f x ( ) ( ) − = y f x = ( )

奇、偶函数的运算性质 请看下面几个图象,回答奇偶函数的运算性质 1、奇ⅹ奇=偶? 2、奇x偶=奇? 3、偶ⅹ偶=偶? 4、奇+奇=奇? 5、偶+偶=偶? 6、偶+奇=奇或是偶? 思考题: 1、奇、偶函数的定义域是否都是关于原点对称的区间? 2、若数集A关于原点对称,则在A上有定义的函数f(x)是 否一定可表为奇、偶函数之和?

6 奇、偶函数的运算性质 请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质 clf, x=-1.2*pi:1/20:1.2*pi; 1、奇 奇=偶？  2、奇 偶 奇？  = 3、 偶 偶 偶 ？  = 4、奇 奇 奇？ + = 5、偶 偶 偶？ + = 6、偶 奇 奇 或是 偶？ + = 思考题： 1、奇、偶函数的定义域是否都是关于原点对称的区间？ 2、若数集A关于原点对称，则在A上有定义的函数f(x)是 否一定可表为奇、偶函数之和？

周期函数 例如常见的三角函数 1)通常我们所说的周期总是指函数的最小周期 2)有的周期函数不一定有最小周期,例如常函数是周期函数, 狄里克雷函数,它们显然没有最小周期

7 o - 2 - 4 2 4 - 2 1 周期函数 例如常见的三角函数 1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期 2) 有的周期函数不一定有最小周期 ，例如常函数是周期函数， 狄里克雷函数，它们显然没有最小周期

思考题: 两周期函数之和是否为周期函数? (可考察f(x)=sinx与g(x)=sin√2x之和的情况 再用反正法证明f(x)+g(x)不是周期函数.)

8 思考题： 两周期函数之和是否为周期函数？ （可考察 f(x)=sinx 与 g(x)=sin 2 x 之和的情况。 再用反正法证明 f(x)+g(x) 不是周期函数.）