《多元函数微积分学》课程教学课件（PPT讲稿，主讲：何先枝）

第七章多元函数微分学 秦偏号数与全微分的概念 偏号数与全微分的计犷 亲偏号数的应用

第七章 多元函数微分学 偏导数与全微分的概念 偏导数与全微分的计算 偏导数的应用

s1、基本概念 亲多元函数 亲二元函数极限 亲二元函数连续性

§1、基本概念 多元函数 二元函数极限 二元函数连续性

予面点的基本概念 平面上一切点的集合称为二维空间,记为R2,即 R2={(x,y)x,y∈R} 空间内一切点的集合称为三维空间,记为R3,即 R3={(x,y,2)|x,y,z∈R 下面,仅介绍平面集合的有关概念,它们可推广 至空间点集

下面，仅介绍平面集合的有关概念，它们可推广 至空间点集。 平面上一切点的集合称为二维空间，记为R2，即 R = (x, y)| x, yR 2 空间内一切点的集合称为三维空间，记为R3，即 R = (x, y,z)| x, y,zR 3 一、平面点集的基本概念

1、邻域 设有平面点P0(x0y),6为一正数,称集合 (P。)=(xy)V(x-x)+(y-y)2<S 为点P的δ邻域, (2,)=(x,y)10<√(x-x)2+(y-y)2< 称为点B的去心δ邻域。 2、区域 设E为平面集,P为E中 1(x0,y) 点。如果存在P的一个邻域 U(P∈E,则称P为E的内点.O X

1、邻域  =  − + −  2 0 2 0 0 U(P , ) (x, y)| (x x ) (y y ) 设有平面点 P0 (x0 , y0 ) ,δ为一正数，称集合  =   − + −   2 0 2 0 0 , ) ( , )| 0 ( ) ( ) ˆ U(P x y x x y y 为点 P0 的δ-邻域， 称为点 P0 的去心δ-邻域。 O x y ( , ) 0 0 0 P x y 2、区域 δ 设E为平面集，P为E中 点。如果存在P的一个邻域 U(P)  E ,则称P为E的内点. 1、邻域，2、区域

如果平面集E的点全是其内点,则称E为开集 如果点P的任意邻域内总有属于E的点,也有不属 于E的点,则称P为平面集E的边界点E的边界点的全 体称为E的边界 如果平面集E内任意两点均可用全含于E内的折 线连接起来,则称E为连通集 边界点 连通的开集称为区域;区 域连同其边界称为闭区域 E 3、聚点 设E为平面集P为一平面 内点 点如果P的任意邻域内总有 无穷多个E中的点,则称P为E 的聚点 X

设E为平面集,P为一平面 点.如果P的任意邻域内总有 无穷多个E中的点,则称P为E 的聚点. 如果平面集E的点全是其内点,则称E为开集. O x y E 如果点P的任意邻域内总有属于E的点,也有不属 于E的点,则称P为平面集E的边界点;E的边界点的全 体称为E的边界. 边界点 内点 如果平面集E内任意两点均可用全含于E内的折 线连接起来,则称E为连通集. 连通的开集称为区域;区 域连同其边界称为闭区域. 3、聚点 3、聚点

4、有界集与无界集 如果平面集E可以含于某个以原点为圆心的圆内 则称E为有界集;否则称之为无界集 y

如果平面集E可以含于某个以原点为圆心的圆内, 则称E为有界集;否则称之为无界集. 4、有界集与无界集 O x y O x y

二、多元函教概☆ 定义1设有三个变量xy、z平面点集D。 如果对于任意的(xy)∈D,变量桉按一定规律均有 唯一确定的值与之对应,则称变量是变量xy的二元 函数,记为 z=f(x,y) 注意:1、二元函数定义域为平面点集;2、二元 函数的图形一般为曲面。 类似,可定义三元函数: f(x,y,z)(x,y,z)∈2cR

二、多元函数概念 定义1 设有三个变量x、y、z和平面点集D。 如果对于任意的(x,y)∈D，变量z按一定规律均有 唯一确定的值与之对应，则称变量z是变量x,y的二元 函数，记为 z = f (x, y) 注意：1、二元函数定义域为平面点集；2、二元 函数的图形一般为曲面。 类似，可定义三元函数： ( , , ) ( , , ) . 3 u = f x y z x y z   R 二、多元函数概念

般,可定义n元函数: l=f(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,xn)∈9cR” 二元及其以上函数称为多元函数,或n元函数。 由一元函数推广到多元函数,除了形式上的变化 外,应特别注意本质上的一些变化。例如,可微、可 导、连续与极限等概念之间的关系在多元函数中与一 元函数已经大不相同。 由一元函数推广到多元函数所发生的本质变化主 要表现在一元函数到二元函数之间,至于二元函数与 三元及其以上函数之间没有本质差异,只是描述的空 间维数上有所变化

由一元函数推广到多元函数，除了形式上的变化 外，应特别注意本质上的一些变化。例如，可微、可 导、连续与极限等概念之间的关系在多元函数中与一 元函数已经大不相同。 一般，可定义n元函数： ( , , , ) ( , , , ) . 1 2 1 2 n u = f x x  xn x x  xn   R 二元及其以上函数称为多元函数，或n元函数。 由一元函数推广到多元函数所发生的本质变化主 要表现在一元函数到二元函数之间，至于二元函数与 三元及其以上函数之间没有本质差异，只是描述的空 间维数上有所变化。 多元函数

一元函数和多元函数可以统一定义为点函数 u=f(P)P∈gcR 【例1】求下列函数的定义域: (1)z=m(x+y-1)(2)=Va2-x2-y2-2 〖解〗(1)要使函数有意义, 必需 y x+y-1>0 x+y-1>0 故得函数定义域为 D={(x,y)x+y-1>0}

x + y −1  0 点函数（函数的统一定义） 一元函数和多元函数可以统一定义为点函数： ( ) . n u = f P P  R 【例1】求下列函数的定义域： （1） z = ln( x + y −1) ；（2） 。 2 2 2 2 u = a − x − y − z 〖解〗（1）要使函数有意义， 必需 x + y −1  0 故得函数定义域为 O x y 1 1 D ={( x, y)| x + y −1 0}

(2)要使函数有意义,必需 a -x-y ≥0 故得函数定义域为 ={(x,y,z)|x2+y2+z2≤ 例2】已知 f(x+y,x-y)=x2-y2+1 求f(x,y) 解】令 LL=x+y,1=x-1, 可得 f(,y)=l+1 故 f(x, y)=xy+I

（2）要使函数有意义，必需 0 2 2 2 2 a − x − y − z  故得函数定义域为 {( , , )| }. 2 2 2 2  = x y z x + y + z  a 例1,例2 【例2】已知 ( , ) 1 2 2 f x + y x − y = x − y + 求 f (x, y). 【解】令 u = x+ y,v = x− y, 可得 f (u,v) = uv +1, 故 f (x, y) = x y+1. □