广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿，第三版）第三章 函数极限（3.5）无穷小量和无穷大量

第五节无穷小量和无穷大量 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合

第五节 无穷小量和无穷大量 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn

、无穷小量 1定义:极限为零的变量称为无穷小量 定义1如果对于任意给定的正数8(不论它多么小, 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,对应的函数值 0 f(x)都满足不等式f(x))时为无穷小 记作imf(x)=0(或lim∫(x)=0 x- r→0

一、无穷小量 1.定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数e(不论它多么小), 总存在正数 d( 或正数 X),使得对于适合不等式 X)的一切 x,对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) < e, 那末 称函数 f (x)当 0 x x （或 ）时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 f x = f x = x x x 或 极限为零的变量称为无穷小量. → → x →  →

例如, lim sin x=0,∴函数sinx是当x→Q时的无穷小 0 ∵Iim-=0. 函数是当x→∞时的无穷小 x→>0J im(-1)"=0.:数列(是当n→∞时的无穷小 n→0 注意 1无穷小是变量不能与很小的数混淆; 2零是可以作为无穷小的唯一的数

例如, limsin 0, 0 = → x x  函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x  . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = - → n n n  } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 -  n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数

2无穷小与函数极限的关系: 定理1limf(x)=A分∫(x)=A+a(x), x→x 其中a(x)是当x→x0时的无穷小 证设Im∫(x)=A,令α(x)=∫(x) vE>0,36>0,使得当0<x-x0<δ时 恒有f(x)-A<E 即有a(x)<6

2.无穷小与函数极限的关系: 证 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) - A, 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x =  = +  → 其中(x)是当x → x0时的无穷小. e e d d -  > < - < f x A x x ( ) 0, 0, 0 0 恒 有 使得当 时 即有 (x) < e

意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题无穷小; 2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式 证∫(x)≈A,误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的 代数和仍是无穷小 设a及β是当x→>时的两个无穷小 VE>0,3X,>0,X,>0,使得

意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x  误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小,  e > 0,X1 > 0,X2 > 0,使得

当x>X时恒有aX时恒有X时,恒有 88 c±阝≤o+ β ∞) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如,n→∞时,是无穷小, 但n个之和为不是无穷小

x X ; 2 1 e 当 > 时恒有  时恒有  X时,恒有      +  2 2 e + e < = e,    → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , →  , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证设函数n在U(x0,81内有界, 则M>0,81>0,使得当0x时的无穷小, v>0,382>0,使得当0<x-x<82时 恒有a< M

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,d1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x   > d > d > < - < d 恒 有 使得当 时

取8=min61,82,则当0x时,a·a为无穷小. 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如,当x→0时,xsin t,x arctan 都是无穷小

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 d = d d 则当0 < x - x0 < d时,恒有 u  = u   M M e <  = e, , . 当x → x0时 u  为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小

二、无穷小的比较 例如 当x→>Q时,x,x2,simx,x2sim都是无穷小 观察各极限 x比3x要快得多; x→>03x sIn d sinx与x大致相同 x→>0x r sin im-2x= lim sin不存在,不可比 x→0y x→0 极限不同,反映了趋向于零的快慢”程度不同

二、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在

定义:设a,B是同一过程中的两个无小,且α≠0 (1)如果im2=0,就说β是比a高阶的无穷小, 记作β=0(a); (2)如果nB∠CC≠0)就说B与是同阶的无穷小 特殊地如果imp=1,则称β与a是等价的无穷小 记作a~β; (3)如果加iB=C(C≠0,k>0),就说是c的阶的 无穷小

( ); (1) lim 0, ,  =  =     记作 o 如果 就说 是比 高阶的无穷小 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且  0. (2) 如果lim = (  0),就说与是同阶的无穷小;   C C ~ ; lim 1, ;   =     记作 特殊地 如果 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的   =  >