广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿，第三版）第十章 定积分的应用（10.2）由平行截面面积求体积

§2由平行截面面积求体积 1、已知平行截面面积(函数)求体积的公式 上节我们学习了平面图形面积的计算,还利用分割、求和的 分析方法,导出了极坐标下平面图形的面积公式: r2()日 现在我们看右图一个空 间立体,假设我们知道它 在x处截面面积为A(x), 可否利用类似于上节极坐 标下推导面积公式的思想 求出它的体积?

1 § 2 由平行截面面积求体积 1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式 上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的 分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式 : A 现在我们看右图一个空 间立体，假设我们知道它 在x 处截面面积为A(x)， 可否利用类似于上节极坐 标下推导面积公式的思想 求出它的体积？ x A(x)

如果像切红薯片一样,把它切成薄片,则每个薄片可近似 看作直柱体,其体积等于底面积乘高, 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积 ∑V≈∑A(x)△x i=1 由此可得 这里,体积的计算的关键是求截面面积A(x),常用的方法先 画出草图,分析图象求出A(x) 例1求两圆柱:x2+y2=R2z2+x2=R2所围的立体体积 2

2 如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似 看作直柱体，其体积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积 i n i n i i V = V  A x x =1 =1 ( ) 由此可得: V A(x)dx. b a  = 这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x) , 常用的方法先 画出草图，分析图象求出A(x). 例 1 求两圆柱: 2 2 2 2 2 2 x + y = R z + x = R 所围的立体体积

解:两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的,因此,它的体 积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积? 下图就是其在第一卦限部分立体 z z R R R 身4留 R R

3 解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体 积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？ 下图就是其在第一卦限部分立体：

该立体被平面 ∈(0,R (因为两圆柱半径相同)所截的截面,是一个边长为√R2-2正 方形,所以截面面积(x)=R2- 故两圆柱面所围成的立体体积 8∫(R2-x)dx=3R2 NEo --=-+---y 例2求由椭圆面x+y+三=1所围立体(椭球)的体积。(如上图) 解法:画出草图,关键是求出用垂直于x轴(其它轴也可)的平面 截立体所得截面面积函数4(x)的具体表达式 利用平行截面面积求立体体积,关键是求出截面面积函数的表达 式,则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计 算

4 该立体被平面  (0, R) （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的正 方形, 所以截面面积 。 2 2 R −  2 2 A(x) = R − ( ) 2 2 3 0 16 8 3 R V R x dx R = − =  故两圆柱面所围成的立体体积 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) x y z a b c x A x 例 求由椭圆面 所围立体（椭球）的体积。(如上图） + + = 解法：画出草图，关键是求出用垂直于 轴（其它轴也可）的平面 截立体所得截面面积函数 的具体表达式。 利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达 式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计 算。 x y z -a 0 a -c c -b b 0 x x y z -a 0 a -c c -b b 0 x

2、旋转体体积公式 设f是[a,b上的连续函数,s2 是由平面图形:0≤py≤f(x) y=f( x∈[a,b](右图阴影部分)绕 x轴旋转一周所得的旋转体 那么易知截面面积函数为 A(x)=z[f(x)],x∈[a,b 由已知平行截面面积求体积的 公式可知,旋转体Ω的体积公式为 y=f(r) =[(x)么 例3求圆锥体的体积公式

5 2、旋转体体积公式     2 2 [ , ] 0 ( ) , [ , ] ( ) , [ , ] ( ) . 3 b a f a b y f x x a b x A x f x x a b V f x dx       =   =  设 是 上的连续函数， 是由平面图形： （右图阴影部分）绕 轴旋转一周所得的旋转体， 那么易知截面面积函数为 （ ） ， 由已知平行截面面积求体积的 公式可知，旋转体 的体积公式为： 例 求圆锥体的体积公式 b a y f x = ( ) x y o b a y f x = ( ) x y o x a b y f x = ( ) x y o a b y f x = ( ) x y o a b y f x = ( ) x y o

例4求由圆x2+(y-R)2≤r2(0<r<R)绕x轴旋转 周所得环状立体体积。 解:如上图所示,上、下半圆方程分别为:n1=R+ √P2-x2,y2=R-v2-x2.|x≤r则环体体积是由上、 下两个半圆绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之差 (如下图所示): 上半圆:y=R+ 下半圆:y2=R

6 2 2 2 例 求由圆 绕 轴旋转 4 ( ) (0 ) x y R r r R x + −    一周所得环状立体体积。 1 2 2 2 2 2 , , y R r x y R r x x r x = + − = − −  解：如上图所示，上、下半圆方程分别为： 则环体体积是由上、 下两个半圆绕 轴旋转一周所得旋转体的体积之差 (如下图所示）： y o x r − r 2 2 1 上半圆：y R r x = + − 2 2 2 下半圆：y R r x = − − y xo − rr y xo − rr

即环体体积 F=可对=(+)(x一 4zRJVr2-x'dx=27'rR

7 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 . r r r r r r r r V y dx y dx R r x dx R r x dx R r x dx r R      − − − −   = − = + − − − −     = − =     即环体体积：