广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿，第三版）第三章 函数极限（3.3）函数极限存在的条件

第三节函数极限存在的条件 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合

第三节 函数极限存在的条件 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn

函数极限与数列极限的关系海涅定理) 定理f(x)在U(x0;δ肭内有定义,mf(x)=A,分 x→x 任意含于U(x;6)数列xn},若 lim x=x且xn≠x, n→0 则有lim∫(xn)=A n→0 注:本定理有如下几点注释: 1本定理建立了函数极限与数列极限的关系,将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2本定理通常用来证明函数极限的不存在性

函数极限与数列极限的关系(海涅定理) lim ( ) . ( ; ) { }, lim , ( ) ( ; ) lim ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 f x A U x x x x x x f x U x f x A n n n n n n x x = =  =  → → → 则 有 任意含于 数 列 若 且 在 内有定义，  定理  注： 本定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性

证∵lim∫(x)=A v>0,38>0,使当00,豆N>0,使当n>N时,恒有 0< 0/<8 从而有f(xn)-A<8,故imf(xn)=A x→0

证 ( ) . 0, 0, 0 , 0 −        −   f x A 使当 x x 时 恒有 f x A x x = → lim ( ) 0  0 . 0, 0, , 0  −         x x N n N n 对上述 使当 时 恒有 f (x ) − A  , 从而有 n lim f (x ) A. n x = → 故 lim , xn x0 xn x0 n =  → 又 且

例如,lim sInd SIn x→>0 lim nsin -=1 n→0 2 n+1 lim√nsin SIn n→0 n→0 n+1 2 n

例如, x x y sin 1 = sin lim 0 = → x x x 1, 1 lim sin = → n n n 1, 1 lim sin = → n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 = + → + n n n n n

例1证明 lim sin不存在 x→>0 证取{xn} nT V=SIn x limx=0,且x,≠0; -0.75-0.5}0.2 0.75 n→0 取{}=1 4n+1 ,Iimx=0,且xn≠0; n→0 T 2

x y 1 = sin 例 1 . 1 limsin 0 证明 不存在 x→ x 证   , 1    = n 取 x n lim = 0, → n n x  0 ; 且 x n   , 2 4 1 1    +  = n 取 x n lim  = 0 , →  n n x   0 ; 且 x n

而 lim sin= lim n丌=0, 4n+ 而 lim sin= lim sin n→0 n→ 2 lim1=1 二者不相等,故 lim sin-不存在 x→0

n x n n n limsin 1 limsin → → 而 = = 1,  2 4 1 limsin 1 limsin + = →  → n x n n n 而 lim1 → = n 二者不相等, . 1 limsin 0 故 不存在 x→ x = 0

单调有界准则: lim f(r) lim f(x); x→>0 lim f(x); lim f(x); x→-0 x→>0 以上4种极限有相互对应的单调有界准则 定理设f(x)为定义在U(x0;6)上的单调有界函数 则右极限mf(x)存在 x→

单调有界准则： lim f (x); x→+  lim f (x); x→−  lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → + 以上4种极限有相互对应的单调有界准则。 则右极限 存在。 设 为定义在 上的单调有界函数， lim ( ) ( ) ( ; ) 0 0 0 f x f x U x x x → + 定理 

Cauchy收敛准则: 设函数f(x)在U(x0;)内有定义。imf(x)存在 的充要条件为: VE>0,38>0,3Vx,x"∈U°(x0;), ∫(x)-∫(x)E 收敛函数的函数值在U(x0;)几乎“挤”在了一起。 2通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在

Cauchy收敛准则： 设函数 在 内有定义。 存在 的充要条件为：     −         | ( ') ( '')| 0, 0, ' , '' ( ; ), 0 0 f x f x x x U x 1 收敛函数的函数值在 几乎“挤”在了一起。 2 通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在。 f ( x) ( ; ) 0 0 U x  lim ( ) 0 f x x→x ( ; ) 0 0 U x 