同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 行列式（1.3）n阶行列式的定义

行列式 第三节n阶行列式的定义 、概念的引入 二、n阶行列式的定义 三、小结思考题

生二、概念的引入 三阶行列式 12 13 s D=a2 a22 a2=41223+a12 231+a13 2132 a31a32a3-a13231.-a14a212-a1a2a3 说明 王(1)三阶行列式共有6项,即3项 王(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积 上页

一、概念的引入 三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 = a a a + a a a + a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 − a a a − a a a − a a a 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．

(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 王的三个元素的下标排列 例如a,an,a,列标排列的逆序数为 312)=1+1=2,偶排列+正号 1、, 2332 列标排列的逆序数为 t(132)=1+0=1,奇排列一负号, 11 12 13 n1a2a3=∑(-1 )'a1p, 2, 3p 31 32 33 上页

（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 13 21 32 a a a 列标排列的逆序数为 t(312) = 1+1 = 2, 11 23 32 a a a 列标排列的逆序数为 t(132) = 1+ 0 = 1, 偶排列 奇排列 + 正号 −负号, ( 1) . 1 1 2 2 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3  =  − p p p t a a a a a a a a a a a a

王 庄二、n阶行列式的定义 定义由n2个数组成的n阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和∑(-1)a1n2n2 Pn u12 记作D= 21 22 2n 识作d单称为行列式d的元素 2 n

二、n阶行列式的定义 n n nn n n p p np t a a a a a a a a a D a a a n n n n        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) . 1 2 =  − 记 作 的代数和 取自不同行不同列的 个元素的乘积 定义 由 个数组成的 阶行列式等于所有 det( ). 简记作 aij 数 aij 称为行列式det(aij)的元素．

其中n1P2…Pn为自然数12,,n的一个排列 t为这个排列的逆序数 12 n 21 D= 2 n」 n2 =∑(1)nn)an npn Pip2''pn 上页

为这个排列的逆序数． 其 中 为自然数 ，， ， 的一个排列， t p1 p2pn 1 2  n ( ) ( ) n n n p p np p p p t p p p n n nn n n a a a a a a a a a a a a D        1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =  − 1 =

说明 王1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、n阶行列式是n项的代数和; 3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同 工工工 列M个元素的乘积 4、一阶行列式a=a不要与绝对值记号相混淆; 5、41namn,的符号为(-)y. 上页

说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积; n n 4、 一阶行列式 a = a 不要与绝对值记号相混淆; 5、 a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 ( 1) . t −

例1计算对角行列式 0001 0020 0300 400o 午解分析 展开式中项的一般形式是a1 P12P23p34p 若n≠4→“=0,所以D只能等天 从而这个项为零,同理可得P2=3,P3=2,P4=1 上页

例1 计算对角行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 分析 展开式中项的一般形式是 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 a a a a 若 p1  4 0, 1 1  a p = 从而这个项为零， 所以 1 只能等于 , p 4 同理可得 p2 = 3, p3 = 2, p4 = 1 解

即行列式中不为零的项为n14242a1 000:1 3a0=(-)1234=24 4000 12 工工工 例2计算上三角行列式0a2 12n 00 n 上页

4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 1 2 3 4 4321 = −    t = 24. 即行列式中不为零的项为 a a a a . 14 23 32 41 例2 计算上三角行列式 nn n n a a a a a a     0 0 0 22 2 11 12 1

解分析 展开式中项的一般形式是a1n2n2 四 Pn=n,Pn1=n-1,Dn3=n-3,…P2=2,P1=1 所以不为零的项只有a124m 12 In 0a2…a2n|=(-ny(2 1122 nn 00 三u11 22 上页

分析 展开式中项的一般形式是 . 1 p1 2 p2 npn a a a p n, n = 1, pn−1 = n − 3, 2, 1, pn−3 = n −  p2 = p1 = 所以不为零的项只有 . 11 22 nn a a a nn n n a a a a a a     0 0 0 22 2 11 12 1  ( ) ( ) nn t n a a a  11 22 12 = −1 . 11 22 nn = a a a 解

1234 0421 例3D 0056 0008 1.234 04.21 D =a12a34=1.4·58=160 005.6 0008 上页

例3 ? 0 0 0 8 0 0 5 6 0 4 2 1 1 2 3 4 D = = 11 22 33 44 0 0 0 8 0 0 5 6 0 4 2 1 1 2 3 4 D = = a a a a = 1 4  5  8 = 160