《最优化方法》课程教学资源（PPT课件）无约束最优化问题的最优性条件（刘二永）

理论部分 无约束最优性条件

理论部分 无约束最优性条件

单元函数的最优性条件 1)若a为o(a)的局部极小点则(a)=0 (2)若o(a)=0,y(a)>0,则a为∞(a) 的严格局部极小点; (3)若a为9(a)的局部极小点,则 0,q

单元函数的最优性条件 （１）若 （２） *  为 () 的局部极小点，则 ( ) 0; *   = 若 ( ) 0 , ( ) 0, * *  =   则 *  为 () 的严格局部极小点； （３）若 *  为 () 的局部极小点，则： ( ) 0 , ( ) 0. * *  =  

阶必要条件 定理1:若x为f(x)的局部极小点,且在N(x) 内f(x)-阶连续可导,则g=V/(x)=0 注:(1)仅仅是必要条件,而非充分条件 (2)满足g=V/(x)=0的点称为驻点 驻点分为:极小点,极大点,鞍点

一阶必要条件 定理1: 若 * x 为 f (x) 的局部极小点，且在 ( ) * N x  内 f (x) 一阶连续可导，则 ( ) 0. * * g = f x = 注: (1) 仅仅是必要条件，而非充分条件． (2) 满足 ( ) 0 * * g = f x = 的点称为驻点． 驻点分为：极小点，极大点，鞍点．

二阶充分条件 定理2:若在N2(x)内f(x)二阶连续可导,且 g=0.G=G(x)正定则x为严格局部 极小点 注:如果G负定,则x为严格局部极大点

二阶充分条件 定理2: 若在 ( ) * N x  内 f (x) 二阶连续可导，且 ( ) * * * g = 0,G = G x 正定, 则 * x 为严格局部 极小点． 注: 如果 * G 负定, 则 * x 为严格局部极大点．

二阶必要条件 定理3:若x为/(x)的局部极小点且在N2(x) 内f(x)二阶连续可导,则g=0,G半正定 充要条件 定理4设f(x)在R上是凸函数且有一阶连续 偏导数,则x*为f(x)的整体极小点的充要 条件是g=0

二阶必要条件 定理3: 若 * x 为 f (x) 的局部极小点，且在 ( ) * N x  内 f (x) 二阶连续可导，则 * * g = 0,G 半正定． 充要条件 定理4:设 f (x) 在 n R 上是凸函数且有一阶连续 偏导数，则 * x 为 f (x) 的整体极小点的充要 条件是 0 . * g =

例1:利用极值条件解下列问题 min f(x) 3 x1+-x3 3 解 of' vf(x)=0,即 l=0 0 得到驻点

例1：利用极值条件解下列问题： ( ) 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1 min f x = x + x − x − x 解： 2 2 2 2 2 1 1 1 x 2x x f x x f = −   = −   令 f (x) = 0, 即：     − = − = 2 0 1 0 2 2 2 2 1 x x x 得到驻点：        − =        − =         =         = 2 1 , 0 1 , 2 1 , 0 1 1 2 3 4 x x x x

函数f(x)的海色阵 v/(x)=(2x0 02. 由此在点x1,x2,x3,x处的海色阵依次为 20 V2f(x) 2/V2/( 20 vf(x3) Vf(x4)

函数 f (x) 的海色阵： ( )         −  = 0 2 2 2 0 2 2 1 x x f x 由此，在点 1 2 3 4 x , x , x , x 处的海色阵依次为： ( ) ( )          =         −  = 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 1 2 f x f x ( ) ( )        −  =         − −  = 0 2 2 0 0 2 2 0 4 2 3 2 f x f x

由于矩阵ⅴ2f(x),y2f(x4)不定,则 x1,x2不是极小点 2f(x3)负定,则x3不是极小点, 实际上它是极大点 V2f(x2)正定,则x2是局部极小点

由于矩阵 ( ) ( ) 4 2 1 2  f x , f x 不定，则 1 2 x , x 不是极小点． ( ) 3 2  f x 负定，则 3 x 不是极小点， 实际上它是极大点． ( ) 2 2  f x 正定，则 2 x 是局部极小点．