湖南大学：《复变函数与积分变换》第六章 共形映射（王文祥）

复变函数与积分变换 第六章 共形映射

复变函数与积分变换

61共形映射的概念 Q一、解析函数导数的几何意义 Q二、共形映射的概念 Q小结与思考

§6.1共形映射的概念 一、解析函数导数的几何意义 二、共形映射的概念 小结与思考

、解析函数导数的几何意义 1.伸缩率与旋转角 设C为z平面内过的光滑曲线如图 映射w=f(z)将C映射成w平面内过w=f(x) 的光滑曲线 y(z) w=f() ty(w)

一、解析函数导数的几何意义 1.伸缩率与旋转角 , 设C为z平面内过z0的光滑曲线 ( ) ( ) 0 0 映射w = f z 将C 映射成w平面内过w = f z 的光滑曲线. y 0 x (z) C 0 z . y 0 x (w)  w0 . w = f (z) 如图．

定义1当z沿曲线C趋向于z点时,如果 lim m 2→>30z- △z→>0△ 存在,则称此极限值为曲线C经函数o=f(z)映 射后在z处的伸缩率 (z) W=f(z)↑y(W)

C  y 0 x (w) w0 w . . y 0 x (z) 0 z z . . z z z z z z  = − − →  →    0 0 0 lim lim 0 存在，则称此极限值为曲线C经函数ω=f (z)映 射后在z0处的伸缩率． w = f (z) 定义1 当z沿曲线C趋向于z0点时，如果

定义2设曲线C在z处的切线倾角为 曲线r在w处的切线倾角为,则-的称为 曲线C经函数o=f(z)映射后在x处的旋转角 y(z W=f(z)↑y(W)

C  y 0 x (w) w0 . y 0 x (z) 0 z . 曲线C经函数ω=f (z)映射后在z0处的旋转角． w = f (z) 定义２ 设曲线C在z0处的切线倾角为  ， 0  0 曲线在w0 处的切线倾角为0 ，则0 −0 称为 0

伸缩率不变性 设w=f(z)在区域D内解析,∈D,且∫(z)≠0 因为r(n)=Im()-/(n)=imA形 △∽0△z 令Δ2=△zl0,△w=△ne ↑y(z) w=f(z)ty(w) △z △ 0

0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 z z f z f z f z z z − −  = → 因为 , i 令 z = z e C  y 0 x (w) w w0 w . . y w = f (z) 0 x (z) z 0 z z . lim , 0 z w z   =  → . i w = w e 设w = f (z)在区域D内解析, , ( ) 0. z0  D 且 f  z0  2．伸缩率不变性

△△we 0,i(g-0) △ze 所以f()=m△z- W一形 0 为曲线C在孤n的伸缩率 结论:f(z)是经过映射w=f(x)后通过点z的 的任何曲线C在孤的伸缩率,它与曲线C的形状及 方向无关所以这种映射具有伸缩率的不变性

所以 f (z0 ) = 0 0 0 0 lim lim z z w w z w z z z − − =    → → 为曲线C 在z0 的伸缩率 结论: f (z0 )是经过映射 w = f (z)后通过点 z0 的 的任何曲线C在 z0的伸缩率,它与曲线C的形状及 方向无关. 所以这种映射具有伸缩率的不变性. , ( ) 0 0     − − − =   =   i i i e z z w w z e w e z w

3.旋转角不变性与保角性 arg f(zo)=lim(o-0)=9-8 Az→>0 为曲线C经w=f(z映射后在的旋转角 说明:旋转角的大小与方向跟曲线C的形状无关 映射=f(z)具有旋转角的不变性

3．旋转角不变性与保角性 arg ( ) lim( ) 0 0 0  0 =  − = − z→ f z 为曲线C经w = f (z)映射后在z0 的旋转角． 说明: 旋转角的大小与方向跟曲线C的形状无关. 映射 w=f(z) 具有旋转角的不变性

设区域内另有一条过点的曲线C1,在孤0 处切线倾角为.经函数w=f(z)映射后的曲线为r, 在w处切线倾角为q.如图 经H=f(z)映射 0 Cr argf(0)=P-0o C argf()=P

1 C1  . w 0  经w = f (z)映射 C1 1 0 0 0 C  argf (z ) =  − C 0 z . 在 处切线倾角为 ．如图． 处切线倾角为 经函数 映射后的曲线为 设区域内另有一条过 点的曲线 ， 在 0 1 1 1 0 1 0 . ( ) ,   w w f z z C z =  0 1 1 argf  ( z ) =  − 

则有 Pi-po r与在v的夹角C与C1在z的夹角 结论:相交于点动n的任意两条曲线C与C1之间 的夹角在其大小和方向上都等同于经过w=f(z) 映射后跟C与C对应的曲线与之间的夹角 映射w=f(z)具有保持两曲线间夹角的大小和 方向不变的性质,此性质称为保角性 注意f(zn)≠0是必要的,否则保角性将不成 立

则有 1 0 1 0  − =  −  与1 在 w0 的夹角 C 与C1 在z0 的夹角 结论: 的夹角在其大小和方向上都等同于经过 w = f (z) . 映射后跟C与C1 对应的曲线与1 之间的夹角 方向不变的性质, 此性质称为保角性. 映 射w = f (z)具有保持两曲线间夹角的大小和 相交于点 z0 的任意两条曲线C 与C1之间 注意 是必要的,否则保角性将不成 立． f (z0 )  0