《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.5）矩阵的奇异值分解

§5矩阵的奇异值分解 定理1设A∈CmW",则有 (1)rank(a)=rank (aA=rank(Aa (2)AHA、A4的特征值均为非负实数 (3)AHA、A4的非零特征值相同 证设rmk(4A)=r→AAx=0的解空间 为n-r维,记为X设x∈xx1A14x1=0

§5 矩阵的奇异值分解 定理 1 设 ACr mn ,则有 (1) ( ) ( ) ( ) H H rank A = rank A A = rank AA 证 (2) A H A、AAH 的特征值均为非负实数 (3) 、 的非零特征值相同. H H A A AA rank A A r H 设 ( ) = A H Ax = 0的解空间 为n− r 维，记为X 设 x1  X x1 A Ax1 H H = 0

x1A4x1=(4x1)4xn=0 Ax1=0 ramk(4)≤mnk(4A) rank(A)=rank(AA (2)AAa=a0≤(4a,Aa) =(a, A" Aa=(a, na)=n(a, a) ≥0

x1 A Ax1 = (Ax1 ) Ax1 = 0 H H H Ax1 = 0 rank(A) rank(A A) H  rank(A) rank(A A) H = A A =   H (2) 0  (A, A) (, A A) H = = (,  ) = (,)   0

(3)设AA的特征值为 A1≥12≥…≥1>1+1=…=n=0 AA的特征值为 1≥22…2H1>H+1=…=Hm=0 A Ai=niai (AA )Ai=A(A Aai →(A41)Aa=A24a :也是AA1的非零特征值

(3) 设 A H A的特征值为 1  2  r  r+1 == n = 0 AAH 的特征值为 1 2 1 0          = = = r r m + i i i H A A =   ( ) ( ) i H i H AA A = A A A i i i H (AA )A =  A i 也是 AAH 的非零特征值

同理可证: AA4的非零特征值也是AA的非零特征值 设n,…,n是A4的特征子空间组基 k141+k242+…+kn4yp=0 k144n1+k2442+…+kn414n=0 (k1y1+k2y2+…+knyn)=0

同理可证: AAH 的非零特征值也是 A H A的非零特征值 设y1 ,  , y p 是A H A的特征子空间V 一组基 k1 Ay1 + k2 Ay2 ++ kp Ay p = 0 1 1 + 2 2 + + p = 0 H p H H k A Ay k A Ay  k A Ay (k1 y1 + k2 y2 ++ kp y p ) = 0

k1y1+k2y2+…+knyp=0 k1,k2,…,k全为零 小1,4y2,…,Ay线性无关 AA的特征子空间的维数不大于A的 特征子空间的维数 同理可证;A的特征子空间的维数

k1 y1 + k2 y2 ++ k p y p = 0 k1 , k2 ,  , k p 全为零 Ay1 , Ay2 ,  , Ay p 线性无关 A H A的特征子空间V 的维数不大于AAH 的 特征子空间V 的维数 同理可证： AAH 的特征子空间V 的维数

不大于A4特征子空间的维数 ∴AA与AA的非零特征值的代数重度相同 定义1设A∈Cm",AA的特征值为 A1≥A22…≥1>A+1=…=an=0 则称G1=√n(i=1,2,…,r)为4的正奇异值

不大于A H A特征子空间V 的维数  与 的非零特征值的代数重复度相同. H H A A AA 定义 1 设 ACr mn , A H A的特征值为 1  2  r  r+1 == n = 0 则 称 (i 1,2, ,r)为A的正奇异值.  i = i = 

定义2设A、B∈Cm,如果存在酉矩阵 U∈C"N"和V∈C,使得 A=UBV 则称A与B酉等价 定理2若A与B酉等价,则A4与B有相同正 奇异值 证A与B酉等价 A=UBY AAh UBV(UBVUBVYHBHUH-UBBHUH

定义 2 设 A、BC mn ,如果存在酉矩阵 U C mm 和V C nn ,使得 A= UBV 则称A与B酉等价. 定理 2 若A与B酉等价，则A与B有相同正 奇异值. 证 A与B酉等价 A= UBV H AA H = UBV(UBV) H H H = UBVV B U H H = UBB U

AAH~BBH→A与B有相同正奇异值 nXn 定理3设A∈C.,a1,a2,…,是4的个正 奇异值,则存在酉矩阵U∈C和V∈C"n 使得 D O A=U 00 其中,D=ling(a1O2,…,o)

H H AA ~ BB A与B有相同正奇异值. 定理 3 设 A C r 是A的r个 正 m n r , 1 , 2 ,,   , m m n n U C V C    和  V D A U       = 0 0 0 奇异值，则存在酉矩阵 使得 1 2 , ( , , , ). 其中 D diag =    r

证AA为n阶正规矩阵 VA AV H DD O dig(1,a2,…,2,0,…,) 0 0 ,V1∈Cr",V2∈ n-r xn H V1AAV H H 1 14"AV2 DD 0 V2AAVH V2AAV H

证 A H A为n阶正规矩阵 H H VA AV         = 0 0 D D 0 H ( , , , ,0, ,0) 2 2 2 2 = diag 1    r  n r n n r r n V Cr V C V V V −  −            = ( ) 1 2 2 1 , ,         H H H H H H H H V A AV V A AV V A AV V A AV 2 1 2 2 1 1 1 2         = 0 0 D D 0 H

VIA AVL=D"D, V2 H 44 H 0 →v2AAv=(42)A2=0 A2=0=U1=(D)V1A∈C H H H H U2U1=U2AV D=0 H U24n1=0(1) U1 AV ZH=(D HIv.AHAV=(D)DD

H H V2 A AV2 H H H AV2 AV2 = ( ) = 0 2 = 0 H AV1 1 = , 2 2 = 0 H H H H H V A AV D D V A AV H H H U D V1 A 1 1 ( ) − = r m C           = H H H U U U 2 1 U2 U1 H = 0 1 2 1 − = U AV D H H 0 (1) 2 1 = H H U AV H H U1 AV1 H H H D V1 A AV1 1 ( ) − = D D D H 1 H ( ) − =