同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十章 曲线积分与曲面积分（10.1）对弧长和曲线积分

第十章 曲线积分与曲面积分 积分学定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域区间域平面域空间域曲线域曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 曲面积分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分

第十章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分

第 第十章 对狐长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章

对弧长的曲线积分的概念与性质 1引例:曲线形构件的质量 B 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB,其线密度为P(x,y,2z) 7k9k)△ 为计算此构件的质量,采用 k-1 大化小,常代变,近似和,求极限 可得M=lm∑P(5k,1k,5k)Ask → HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得  = n k 1 M = 为计算此构件的质量, k s Mk−1 Mk ( , , )  k k  k 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2定义 设r是空间中一条有限长的光滑曲线,∫(x,y,2z)是定 义在I上的一个有界函数若通过对r的任意分割和对 局部的任意取点下列“乘积和式极限”(5k,mk25k 记作 im∑f(k k,nk, Sk)4 k f(x, v, z)ds 1->0 k=1 都存在,则称此极限为函数f(x,y,2)在曲线 kk I上对弧长的曲线积分,或第一类曲线积分 f(x,y,z)称为被积函数,r称为积分弧段 曲线形构件的质量M=P(xyd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 设  是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, k k k k f ( , , )s 都存在, 上对弧长的曲线积分, = 记作  f (x, y,z)ds 若通过对  的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量  M =  (x, y,z)ds  = n k 1 0 lim → k s Mk−1 Mk ( , , )  k k  k 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果L是xoy面上的曲线弧,则定义对弧长的曲线积 分为 f(x,y)ds=lim∑f(5k,7k)△Sk -)0 如果L是闭曲线,则记为「,f(x,y)ds 思考 (1)若在L上f(x,y)=1,问[,ds表示什么? (2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 否!对弧长的曲线积分要求ds≥0,但定积分中 dx可能为负 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0    L f (x, y)ds 如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds  0 , 但定积分中 dx 可能为负

3性质 ()J[(/xy2)8(xy)d f(x,y,2)ds+l-g(x, y, z)ds (2)Jk/(x,y)d=k/(xy)ds(k为常数) (3)「nf(xy=)ds=f(x,y,)d+」f(x,y,)ds (T由I1,2组成) (4)1ds=1(为曲线抓r的长度) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 性质 (1)  f (x, y,z) ds  （k 为常数)  (3) f (x, y,z)ds (  由 组成) ( l 为曲线弧  的长度)  g(x, y,z)  = f (x, y,z)ds g(x, y,z)ds       = + 1 2 f (x, y,z)ds f (x, y,z)ds 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路:求曲线积分转化,计算定积分 定理:设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=q(t),y=y(t)(a≤t≤B) 上的连续函数则曲线积分(xy)存在且 B f(x,y)ds=|[9(t),v()2(t)+4(t)dt 证:根据定义 r(x)ds=m∑/(5,m)As HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

  =  +    f x y ds f  t  t  t  t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0    机动 目录 上页 下页 返回 结束

设各分点对应参数为tk(k=0,1,…n) 点(5k,7k对应参数为k∈[tk-1,1k S k p(t)+y(tdt =vp2(xk)+v2(k)△k,zk∈[tk-1,tk 则,f(x,y)ds lim XI(Tk), v()1012(rk)+y2(k)At 注意√(2()+v2(m)连续 lim fip(),(kIo2(k+V2(k)NK HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

点 ( , )  k k s t t t k k t t k ( ) ( ) d 1 2 2  −  =  + ( ) ( ) , 2 2 k k k =   +  t  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f     注意  2 (t) + 2 (t)连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f     机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此 f(x, y)ds =∫1(.y()k02()+2(0d 说明: (1)∵ASk>0,∴Mk>0,因此积分限必须满足α<β! (2)注意到 ds=v(dx) +(d y) p2()+v2()d ds/dy dx 因此上述计算公式相当于“换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

dx dy ds x y o 说明: (1)   0,  0, k k  s t 因此积分限必须满足    ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 =  + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果曲线L的方程为y=(x)(a≤x≤b),则有 b JL r(x, y)ds =f(x,(x))1+w2 (x)d> 如果方程为极坐标式:L:r=r(0)(≤0≤B,则 f(x, y)ds B f(r(0)cose, r(O)sine )r2(0)+r 2(0)d0 推广:设空间曲线弧的参数方程为 F:x=0(1),y=V(1),z=0(1)(≤t≤B) f(x, y, z)ds B f((y(.()o2()+v2()+o2(t)dt 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: L :r = r( ) (    ), 则  =   f (r( )cos , r( )sin ) 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x =(t), y =(t), z =(t) (  t   ) 则  f (x, y,z)ds (t) (t) (t) d t 2 2 2  + + 1 (x) dx 2 + ( ) ( ) d 2 2 r + r   = b a f (x,(x))  =   f ((t) ,(t),(t) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束