同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十章 曲线积分与曲面积分（10.7）斯托克斯公式

第七节 第十章 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 四、向量微分算子 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章

斯托克斯(Soks)公式 定理1.设光滑曲面Σ的边界I是分段光滑曲线,Σ的 侧与r的正向符合右手法则,PQ,R在包含∑在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数,则有 OR 0O OP OR oo oP d vdz+ zdx t dxd az ax Ox FPdx+Qdy+Rd=(斯托克斯公式),方 证:情形1∑与平行z轴的直线只交于 点,设其方程为 2: z=f(x,y),(X,DEDx 为确定起见,不妨设Σ取上侧(如图 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 简介目录上页下页返回结束

  y o z x 一 、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线,  = Pd x + Qd y + Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证: 情形1  与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 Dx y  : z = f (x, y), (x, y) n 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). Dx y C 则有 简介 目录 上页 下页 返回 结束

则Pdx=P(x,y,=(x,y)dx ∫nP(xy,(xy)dxdy(利用格林公式 aPaP az Idxd y y Oy az a trop ap +efy]cords O y Dy XX COS B I+f+f COS cosy HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录 下页返回结束

则  Pd x  = C P(x, y,z(x, y))d x P x y z x y x y (利用格林公式) Dx y y ( , , ( , ))d d    = −   x y y z z P y P Dx y d d     +   = −  f  S z P y P y cos d   +   = − cos , 2 2 1 1 x y + f + f   = cos , 2 2 1 x y y f f f + + −  =   cos cos  f y = −   y o z x n Dx y C 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

因此fPdx=小 aP aP coS B Cosyn S aP aP COS B cosy ds az aP aP dzdx-e dxdy az 同理可证Qdy oO dxd y d vd az FRdx=小3 OR OR d ydz-dzdx OX 三式相加,即得斯托克斯公式 HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

因此   S z P y P P x cos d cos cos d      −   = −     S y P z P cos  cos d   −   =  x y y P z x z P d d d d   −   =  同理可证  Qd y y z z Q x y x Q d d d d   −   =   Rd x z x x R y z y R d d d d   −   =  三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

情形2曲面Σ与平行z轴的直线交点多于一个,则可 通过作辅助线面把Σ分成与z轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式然后相加由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕 注意:如果Σ是xoy面上的块平面区域则斯托克斯 公式就是格林公式故格林公式是斯托克斯公式的特例 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录上页下页返回结束

情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把  分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果  是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

为便于记忆,斯托克斯公式还可写作 dydz dzdx dxdy ax Pdx+ody+rdz R 或用第一类曲面积分表示 cos a cos B cos元 ds=trpdx+ody+Rdz y P Q aR HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录 下页返回结束

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:         P Q R x y z d y d z d z d x d x d y  = Pd x + Qd y + Rd z 或用第一类曲面积分表示: S P Q R x y z d cos cos cos             = Pd x + Qd y + Rd z 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1利用斯托克斯公式计算积分hzdx+xdy+ydz 其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个 边界,方向如图所示 解:记三角形域为∑,取上侧,则 zdx+xdy+ydz dydz dzdx dxdy D ∫ dydz+dzdx+dxdy=3 dxdy 利用对称性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x y y z z x x y x y  z       = d d d d d d z x y 1 1 1 o 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示.  = d y d z + d z d x + d xd y 利用对称性 = Dx y 3 d xd y 2 3 = Dxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.为柱面x2+y2=2y与平面y=的交线从z 轴正向看为顺时针计计算=y2dx+ydy+xd 解:设Σ为平面二=y上被r所围椭圆域,且取下侧, 则其法线方向余弦 cos a=0, coS B cos r ∑× 利用斯托克斯公式得 y cosa cos B cos r ax d s (-zds=0 y O二 2 xy HIGH EDUCATION PRESS 公式目录上页下页返回结束

例2.  为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 o z 2  y x 解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 I d S   = = 0 则其法线方向余弦 cos cos  cos  x y  z      y xy xz 2  公式 目录 上页 下页 返回 结束

二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2.设G是空间维单连通域,函数P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1)对G内任分段光滑闭曲线r,有 Pdx+ody+Rdz=0 (2)对G内任分段光滑曲线I,Pdx+Qdy+Rdz 与路径无关 (3)在G内存在某一函数v,使d=Pdx+Qdy+Rdz (4)在G内处处有 ap a2 a@ oror aP OV HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

du = Pd x + Qd y + Rd z *二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有 d + d + d = 0  P x Q y R z (2) 对G内任一分段光滑曲线 ,  Pd x + Qd y + Rd z 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 z P x R y R z Q x Q y P             = , = , = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证:(4)→(1)由斯托克斯公式可知结论成立 (1)→(2)(自证) (2)→(3)设函数 u(r,y, z) Pdx+ody+rdz 则on (x+△x,y,2)-l(x,y,2) 0x△x->0 x+△x,y,z Pdx+ody+rdz △x→>0Axx,y,z) 1cx+△x Pdx=limp(x+△x,y,z) ∧x→>0△xx △x-0 =P(x,y,z HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理2目录 下页返回结束

 = + + ( , , ) ( , , ) 0 0 0 ( , , ) d d d x y z x y z u x y z P x Q y R z 证: (4)  (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; (1)  (2) (自证) (2)  (3) 设函数 则 x u    +  → + +  = ( , , ) ( , , ) 0 d d d 1 lim x x y z x y z x P x Q y R z x 0 lim  → = x x u x x y z u x y z  ( + , , )− ( , , )  +  →  = x x x x P x x d 1 lim 0 lim ( , , ) 0 p x x y z x = +   → = P(x, y,z) 定理2 目录 上页 下页 返回 结束